Определите значение коэффициентов b и c ,при которых вершина параболы y=2x^2+bx +c находятся в точке...

Для того чтобы определить значения коэффициентов ( b ) и ( c ) в уравнении параболы ( y = 2x^2 + bx + c ), при которых вершина параболы находится в точке ( A(-1, 3) ), нужно использовать формулу для координат вершины параболы и подставить данные условия.

1. Координата вершины по x:

   Вершина параболы, заданной уравнением ( y = ax^2 + bx + c ), имеет координату по ( x ), равную ( x = -\frac{b}{2a} ). В данном случае ( a = 2 ), поэтому:

   [ -\frac{b}{2 \times 2} = -1 ]

   Решая это уравнение, получаем:

   [ -\frac{b}{4} = -1 \implies b = 4 ]

2. Координата вершины по y:

   Подставим ( x = -1 ) в уравнение параболы ( y = 2x^2 + bx + c ) и воспользуемся тем, что ( y = 3 ) (так как вершина имеет координаты ( (-1, 3) )):

   [ 3 = 2(-1)^2 + 4(-1) + c ]

   Это упрощается до:

   [ 3 = 2 - 4 + c ]

   [ 3 = -2 + c ]

   [ c = 3 + 2 = 5 ]

Таким образом, коэффициенты ( b ) и ( c ) равны ( 4 ) и ( 5 ) соответственно. Уравнение параболы, вершина которой находится в точке ( A(-1, 3) ), имеет вид:

[ y = 2x^2 + 4x + 5 ]

Для того чтобы найти коэффициенты b и c, при которых вершина параболы находится в точке А(-1;3), нужно воспользоваться формулами для нахождения координат вершины параболы.

Координата x вершины параболы равна -b/(2a), где a=2. Из условия задачи получаем, что x=-1, тогда -b/(2*2)=-1, откуда b=4.

Координата y вершины параболы равна c - b^2/(4a), так как координата вершины параболы равна 3, то c - 4^2/(4*2)=3, откуда c=3+8=11.

Итак, значения коэффициентов b и c равны 4 и 11 соответственно.

Для того чтобы найти значения коэффициентов b и c в уравнении параболы y = 2x^2 + bx + c, при которых вершина параболы находится в точке А(-1;3), необходимо использовать свойство вершины параболы.

В общем виде вершина параболы с уравнением y = ax^2 + bx + c имеет координаты вершины (-b/2a, f(-b/2a)), где f(-b/2a) - это значение функции в вершине параболы.

Из условия задачи известно, что вершина находится в точке А(-1;3), поэтому координаты вершины (-b/2a, f(-b/2a)) должны равняться (-1, 3). Таким образом, получаем систему уравнений:

1) -b/2a = -1 2) f(-b/2a) = 3

Подставляем уравнение параболы y = 2x^2 + bx + c в уравнение f(-b/2a) = 3:

2(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + c = 3 2(b^2/(4a^2)) - b^2/(2a) + c = 3 2b^2/(4a^2) - b^2/(2a) + c = 3 b^2/(2a) - b^2/(2a) + c = 3 c = 3

Таким образом, коэффициент c равен 3.

Подставляем значение c = 3 в уравнение вершины параболы -b/2a = -1:

-b/2a = -1 b = 2a

Таким образом, коэффициент b равен 2a, где a - коэффициент перед x^2 в уравнении параболы.