Отношения радиуса описанной к радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности равно.
Отношения радиуса описанной к радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности равно.
Отношение радиуса описанной окружности ( R ) к радиусу вписанной окружности ( r ) в правильный шестиугольник всегда постоянно и равно ( \frac{2}{\sqrt{3}} ) или приблизительно 1.1547.
Это можно вывести через следующие соображения:
Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников.
Радиус описанной окружности ( R ) правильного шестиугольника будет равен длине стороны этого шестиугольника (обозначим её ( s )).
Радиус вписанной окружности ( r ) можно найти через формулу площади правильного шестиугольника, который равен ( 6 ) площадям равностороннего треугольника со стороной ( s ). Площадь равностороннего треугольника равна ( \frac{\sqrt{3}}{4}s^2 ), следовательно, площадь шестиугольника равна ( \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2 ). Площадь шестиугольника также можно выразить через радиус вписанной окружности как ( \frac{1}{2} \times \text{Периметр} \times r = 3sr ). Приравнивая две формулы площади, находим ( r ): [ 3sr = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2 \implies r = \frac{\sqrt{3}}{2}s ]
Таким образом, отношение ( \frac{R}{r} = \frac{s}{\frac{\sqrt{3}}{2}s} = \frac{2}{\sqrt{3}} ).
Это отношение является ключевым при работе с правильными шестиугольниками и окружностями, описанными вокруг или вписанными в них.
Отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности в правильном шестиугольнике равно √3 : 2.
Для того чтобы найти это отношение, рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в окружность. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра шестиугольника до любой из его сторон.
Проведем радиусы описанной и вписанной окружностей к вершинам шестиугольника. Так как угол в вершине правильного шестиугольника равен 120 градусам, то получаем равносторонний треугольник, в котором сторона равна радиусу описанной окружности, а сторона вписанной окружности равна высоте этого треугольника.
Из свойств равностороннего треугольника следует, что отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной равно √3 : 2.
