Первообразная от функции x/2

Для нахождения первообразной от функции x/2 мы должны проинтегрировать данную функцию. Интеграл от x/2 будет равен (x^2)/4 + C, где C - произвольная постоянная. Таким образом, первообразной от функции x/2 будет функция (x^2)/4 + C.

Первообразная (или неопределённый интеграл) функции — это функция, производная которой равна данной функции. Для нахождения первообразной функции ( f(x) = \frac{x}{2} ), мы будем использовать стандартные правила интегрирования.

Функция, которую мы хотим интегрировать, записывается как:

[ f(x) = \frac{x}{2} ]

Это выражение можно представить как:

[ f(x) = \frac{1}{2} \cdot x ]

Теперь применим правило интегрирования, которое гласит, что первообразная функции ( ax^n ) (где ( a ) — константа, а ( n \neq -1 )) равна:

[ \frac{a}{n+1} x^{n+1} + C ]

где ( C ) — произвольная константа интегрирования.

В нашем случае, ( a = \frac{1}{2} ) и ( n = 1 ). Подставим эти значения в формулу:

[ \int \frac{1}{2} \cdot x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+1} x^{1+1} + C ]

Упрощая выражение, получаем:

[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^2 + C ]

[ = \frac{1}{4} x^2 + C ]

Таким образом, первообразная функции ( f(x) = \frac{x}{2} ) равна:

[ F(x) = \frac{1}{4} x^2 + C ]

где ( C ) — произвольная константа интегрирования, которая отражает неопределённость первообразной из-за отсутствия границ интегрирования.