Петя выполянет некоторую работу за два дня, Коля выполняет эту работу за 3 дня, а Вася за 6 дней а....

Прежде чем приступить к решению, давайте введем обозначения и основные понятия:

• Производительность работы одного человека равна количеству работы, которое он выполняет за единицу времени. Если человек выполняет работу за ( t ) дней, то его производительность равна ( \frac{1}{t} ) (долей работы за 1 день).
• Петя выполняет всю работу за 2 дня, значит его производительность ( P = \frac{1}{2} ) работы в день.
• Коля выполняет всю работу за 3 дня, значит его производительность ( K = \frac{1}{3} ) работы в день.
• Вася выполняет всю работу за 6 дней, значит его производительность ( V = \frac{1}{6} ) работы в день.

Теперь решим каждый пункт задачи.

а) За какое время они выполнят эту работу вместе?

Производительность всех троих вместе равна сумме их индивидуальных производительностей: [ P + K + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}. ] Приведем к общему знаменателю: [ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1. ] Получается, что за 1 день они выполнят всю работу. Таким образом: [ t = 1 \text{ день.} ]

Ответ: они выполнят работу вместе за 1 день.

б) За какое время они выполнят всю работу, если сначала третью часть её выполнит один Петя, затем половину оставшегося — Коля, а уже остальное — Вася?

1. Вычислим, сколько времени потребуется Пете, чтобы выполнить треть работы. Петя выполняет ( \frac{1}{2} ) работы за 1 день, значит: [ \text{Время Пети} = \frac{\text{Объём работы}}{\text{Производительность}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \text{ дня.} ]

2. После того как Петя выполнит треть работы, останется ( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} ) работы. Коля выполняет половину оставшегося объёма, то есть: [ \text{Объём работы, выполняемый Колей} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}. ] Коля выполняет ( \frac{1}{3} ) работы со своей производительностью ( \frac{1}{3} ) работы в день, значит: [ \text{Время Коли} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} = 1 \text{ день.} ]

3. Оставшаяся работа после Коли составляет: [ \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. ] Эту часть выполняет Вася, чья производительность равна ( \frac{1}{6} ) работы в день. Значит: [ \text{Время Васи} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}} = 2 \text{ дня.} ]

4. Суммируем время: [ \text{Общее время} = \frac{2}{3} + 1 + 2 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} + \frac{6}{3} = \frac{11}{3} = 3 \frac{2}{3} \text{ дня.} ]

Ответ: они выполнят всю работу за ( 3 \frac{2}{3} ) дня.

в) Кто выполнит работу быстрее: Петя один или Коля и Вася вместе?

1. Производительность Коли и Васи вместе: [ K + V = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}. ] Приведем к общему знаменателю: [ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. ] Значит, Коля и Вася вместе выполняют работу за: [ t = \frac{1}{\text{Производительность}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \text{ дня.} ]

2. Петя выполняет всю работу за 2 дня. Таким образом, Петя и Коля с Васей выполняют работу за одинаковое время.

Ответ: и Петя, и Коля с Васей выполнят работу за 2 дня.

г) Ребята выполнили эту работу вместе и получили 45 рублей. Сколько денег причитается каждому?

Работа выполнялась совместно, поэтому деньги нужно разделить пропорционально их производительностям. Производительности: [ P = \frac{1}{2}, \quad K = \frac{1}{3}, \quad V = \frac{1}{6}. ] Суммарная производительность: [ P + K + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1. ] Доля каждого:

• Доля Пети: ( \frac{P}{P+K+V} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} ).
• Доля Коли: ( \frac{K}{P+K+V} = \frac{\frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{3} ).
• Доля Васи: ( \frac{V}{P+K+V} = \frac{\frac{1}{6}}{1} = \frac{1}{6} ).

Теперь распределим 45 рублей:

• Петя: ( 45 \cdot \frac{1}{2} = 22.5 ) рублей.
• Коля: ( 45 \cdot \frac{1}{3} = 15 ) рублей.
• Вася: ( 45 \cdot \frac{1}{6} = 7.5 ) рублей.

Ответ: Петя — 22.5 рубля, Коля — 15 рублей, Вася — 7.5 рублей.

д) Первый день работал один Петя, а со второго дня к нему присоединились Коля и Вася. Как распределить 45 рублей?

1. За первый день Петя выполняет: [ \text{Объём работы} = P = \frac{1}{2}. ] Остаётся выполнить: [ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \text{ работы.} ]

2. Со второго дня работают все трое с общей производительностью: [ P + K + V = 1. ] Оставшаяся ( \frac{1}{2} ) работы будет выполнена за: [ t = \frac{\text{Объём работы}}{\text{Производительность}} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \text{ дня.} ]

3. Всего Петя работал ( 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \text{ дня.} ) Его доля в работе: [ \text{Доля Пети} = \frac{\frac{3}{2} \cdot P}{1} = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1} = \frac{3}{4}. ]

Коля и Вася работали только ( \frac{1}{2} ) дня. Их доли:

• Доля Коли: ( \frac{\frac{1}{2} \cdot K}{1} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{6}. )
• Доля Васи: ( \frac{\frac{1}{2} \cdot V}{1} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}}{1} = \frac{1}{12}. )

1. Проверяем, что сумма долей равна 1: [ \frac{3}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{12}{12} = 1. ]

2. Распределяем 45 рублей пропорционально долям:

   • Петя: ( 45 \cdot \frac{3}{4} = 33.75 ) рублей.
   • Коля: ( 45 \cdot \frac{1}{6} = 7.5 ) рублей.
   • Вася: ( 45 \cdot \frac{1}{12} = 3.75 ) рублей.

Ответ: Петя — 33.75 рублей, Коля — 7.5 рублей, Вася — 3.75 рублей.

е), ж), з) Аналогично пункту д, меняется только комбинация работающих.

Дайте знать, если нужно подробно расписать эти пункты!

Давайте разберёмся с каждым из пунктов по порядку.

а. За какое время они выполнят эту работу вместе?

Петя выполняет работу за 2 дня, значит, его работа в день: ( \frac{1}{2} ). Коля выполняет работу за 3 дня, значит, его работа в день: ( \frac{1}{3} ). Вася выполняет работу за 6 дней, значит, его работа в день: ( \frac{1}{6} ).

Сложим их производительности: [ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1. ]

Это означает, что они выполнят работу вместе за 1 день.

б. За какое время они выполнят всю работу, если сначала третью часть её выполнит один Петя, затем половину оставшегося Коля, а уже остальное Вася?

1. Петя выполняет 1/3 работы. Он работает 2 дня (так как выполняет всю работу за 2 дня).
2. Остаётся 2/3 работы. Коля выполняет половину оставшегося, то есть ( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} ). Он работает 1 день (так как выполняет всю работу за 3 дня).
3. Остаётся 1/3 работы. Вася выполняет её за 2 дня (так как выполняет всю работу за 6 дней).

Общее время: [ 2 + 1 + 2 = 5 \text{ дней.} ]

в. Кто выполнит работу быстрее: Петя один или Коля и Вася вместе?

Петя выполняет работу за 2 дня.

Коля и Вася вместе выполняют работу за 1 день (как мы уже рассчитали в пункте а).

Ответ: Коля и Вася вместе выполнят работу быстрее.

г. Если ребята выполнили эту работу вместе и получили 45 рублей, сколько денег причитается каждому?

Работа каждого:

• Петя: ( \frac{1}{2} )
• Коля: ( \frac{1}{3} )
• Вася: ( \frac{1}{6} )

Общая работа: 1 (вся работа).

Доля каждого: [ \text{Петя: } 45 \times \frac{1/2}{1} = 22.5 \text{ рублей.} ] [ \text{Коля: } 45 \times \frac{1/3}{1} = 15 \text{ рублей.} ] [ \text{Вася: } 45 \times \frac{1/6}{1} = 7.5 \text{ рублей.} ]

д) Первый день работал один Петя, а сначала второго дня к нему присоединились Коля и Вася. Когда работа была закончена, им заплатили 45 рублей. Как распределить полученные деньги?

1. Петя за 1 день: ( \frac{1}{2} ) работы.
2. Остаётся ( \frac{1}{2} ) работы. Они работают вместе: [ \text{Общая производительность: } \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 \text{ (выполнят оставшуюся работу за 1 день).} ]

Итак, всего работа выполнена за 2 дня.

Доля каждого:

• Петя: ( 1/2 ) работы (1 день) + ( 1/3 ) + ( 1/6 ) (вместе второй день) = ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 ) (вся работа).
• Коля: ( \frac{1}{3} ) работы (вместе второй день).
• Вася: ( \frac{1}{6} ) работы (вместе второй день).

Распределение: [ \text{Петя: } \frac{1/2}{1} \times 45 = 22.5 \text{ рублей.} ] [ \text{Коля: } \frac{1/3}{1} \times 45 = 15 \text{ рублей.} ] [ \text{Вася: } \frac{1/6}{1} \times 45 = 7.5 \text{ рублей.} ]

е) То же, что и в пункте д, но в первый день работал один Коля.

1. Коля за 1 день выполняет ( \frac{1}{3} ) работы.
2. Остаётся ( \frac{2}{3} ) работы. Они работают вместе: [ \text{Работа: } \frac{1/2} + \frac{1/3} + \frac{1/6} = 1 \text{ (выполнят оставшуюся работу за 1 день).} ]

Итак, работа выполнена за 2 дня.

Доля каждого:

• Коля: ( 1/3 ) работы (1 день) + ( 1/3 ) (вместе второй день) = ( \frac{1/3} + \frac{2/3} = 1 ) (вся работа).
• Петя: ( \frac{1/2} ) работы (вместе второй день).
• Вася: ( \frac{1/6} ) работы (вместе второй день).

Распределение: [ \text{Коля: } \frac{1/3}{1} \times 45 = 15 \text{ рублей.} ] [ \text{Петя: } \frac{1/2}{1} \times 45 = 22.5 \text{ рублей.} ] [ \text{Вася: } \frac{1/6}{1} \times 45 = 7.5 \text{ рублей.} ]

ж) То же, что и в пункте д, но в первый день работал один Вася.

1. Вася за 1 день выполняет ( \frac{1}{6} ) работы.
2. Остаётся ( \frac{5}{6} ) работы. Они работают вместе: [ \text{Работа: } \frac{1/2} + \frac{1/3} + \frac{1/6} = 1 \text{ (выполнят оставшуюся работу за 1 день).} ]

Работа выполнена за 2 дня.

Доля каждого:

• Вася: ( 1/6 ) работы (1 день) + ( \frac{1/3} ) (вместе второй день) = ( \frac{1/6} + \frac{1/2} = \frac{2/3} ).
• Петя: ( \frac{1/2} ) работы (вместе второй день).
• Коля: ( \frac{1/3} ) работы (вместе второй день).

Распределение: [ \text{Вася: } \frac{2/3}{1} \times 45 = 30 \text{ рублей.} ] [ \text{Петя: } \frac{1/2}{1} \times 45 = 22.5 \text{ рублей.} ] [ \text{Коля: } \frac{1/3}{1} \times 45 = 15 \text{ рублей.} ]

з) То же, что и в пункте д, но в первый день работали Коля и Вася вместе, затем Вася ушёл, а Коля с Петей закончили работу.

1. Коля и Вася работают вместе 1 день: [ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1/2} \text{ (всё вместе они выполнят } \frac{1/2} \text{ работы).} ]
2. Остаётся ( \frac{1}{2} ) работы. Теперь работают Петя и Коля: [ \frac{1/2} + \frac{1/3} = 1 \text{ (выполнит оставшуюся работу за 1 день).} ]

Работа выполнена за 2 дня.

Доля каждого:

• Коля: ( \frac{1/3} + \frac{1/3} = \frac{2/3} ).
• Вася: ( \frac{1/6} ).
• Петя: ( \frac{1/2} ).

Распределение: [ \text{Коля: } \frac{2/3}{1} \times 45 = 30 \text{ рублей.} ] [ \text{Вася: } \frac{1/6}{1} \times 45 = 7.5 \text{ рублей.} ] [ \text{Петя: } \frac{1/2}{1} \times 45 = 22.5 \text{ рублей.} ]

Таким образом, мы завершили все пункты.

Давайте разберем задачу по пунктам, используя алгебраические методы.

Исходные данные:

• Петя выполняет работу за 2 дня. Его производительность: ( P = \frac{1}{2} ) работы в день.
• Коля выполняет работу за 3 дня. Его производительность: ( K = \frac{1}{3} ) работы в день.
• Вася выполняет работу за 6 дней. Его производительность: ( V = \frac{1}{6} ) работы в день.

а. За какое время они выполнят эту работу вместе?

Чтобы найти общую производительность, сложим их производительности: [ P + K + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} ] Приведем дроби к общему знаменателю (6): [ P + K + V = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 ] Это означает, что они выполняют 1 работу за 1 день. Следовательно, вместе они выполнят работу за: [ t = 1 \text{ день.} ]

б. За какое время они выполнят всю работу, если сначала третью часть её выполнит Петя, затем половину оставшегося — Коля, а уже остальное — Вася?

1. Работа Пети: Петя выполняет треть работы: [ \text{Работа Пети} = \frac{1}{3} ] Время работы Пети: [ t_P = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3} \text{ дня.} ]

2. Остаток работы после Пети: [ \text{Остаток} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} ]

3. Работа Коли: Коля выполняет половину оставшегося: [ \text{Работа Коли} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} ] Время работы Коли: [ t_K = \frac{1/3}{1/3} = 1 \text{ день.} ]

4. Остаток работы после Коли: [ \text{Остаток} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} ]

5. Работа Васи: Вася выполняет оставшуюся работу: [ t_V = \frac{1/3}{1/6} = 2 \text{ дня.} ]

6. Общее время: [ t_{total} = t_P + t_K + t_V = \frac{2}{3} + 1 + 2 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} + \frac{6}{3} = \frac{11}{3} \text{ дня} \approx 3.67 \text{ дня.} ]

в. Кто выполнит работу быстрее: Петя один или Коля и Вася вместе?

Объединим производительности Коли и Васи: [ K + V = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ] Коля и Вася делают 1/2 работы в день. Таким образом:

• Время, которое потребуется Коле и Васе вместе: [ t_{KV} = \frac{1}{1/2} = 2 \text{ дня.} ]
• Время, которое требуется Пете: [ t_P = 2 \text{ дня.} ] Следовательно, оба варианта имеют одинаковое время выполнения работы, равное 2 дням.

г. Ребята выполнили эту работу вместе и получили 45 рублей. Сколько денег причитается каждому?

Мы уже знаем, что они вместе сделали 1 работу за 1 день. Теперь найдем, сколько каждый из них сделал работы:

1. Петя: [ \text{Доля Пети} = \frac{1}{2} \text{ (работа за день)} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} ]

2. Коля: [ \text{Доля Коли} = \frac{1}{3} \text{ (работа за день)} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3} ]

3. Вася: [ \text{Доля Васи} = \frac{1}{6} \text{ (работа за день)} = \frac{1/6}{1} = \frac{1}{6} ]

Теперь распределим 45 рублей пропорционально их долям: [ \text{Доля Пети} = 45 \cdot \frac{1/2}{1} = 22.5 \text{ рублей,} ] [ \text{Доля Коли} = 45 \cdot \frac{1/3}{1} = 15 \text{ рублей,} ] [ \text{Доля Васи} = 45 \cdot \frac{1/6}{1} = 7.5 \text{ рублей.} ]

д. Первый день работал один Петя, а сначала второго дня к нему присоединились Коля и Вася. Когда работа была закончена, им заплатили 45 рублей. Как распределить полученные деньги?

1. Работа Пети за 1 день: [ \text{Работа Пети} = 1/2 ]

2. Остаток работы: [ \text{Остаток} = 1 - 1/2 = 1/2 ]

Теперь определим, сколько времени потребуется Коля и Вася, чтобы завершить оставшуюся работу вместе. Их совместная производительность: [ K + V = \frac{1}{2} ] Время, необходимое для выполнения оставшейся работы: [ t_{KV} = \frac{1/2}{1/2} = 1 \text{ день.} ]

Общее время работы: [ t_{total} = 1 + 1 = 2 \text{ дня.} ]

Теперь распределим 45 рублей по времени работы:

• Петя работал 1 день.
• Коля и Вася работали 1 день вместе.

Общее количество "человек-дней": [ 1 \text{ (Петя)} + 1 \text{ (Коля и Вася)} = 2 \text{ человек-дня.} ]

Доля каждого: [ \text{Доля Пети} = 45 \cdot \frac{1}{2} = 22.5 \text{ рублей,} ] [ \text{Доля Коли} = 45 \cdot \frac{1/2}{2} = 11.25 \text{ рублей,} ] [ \text{Доля Васи} = 45 \cdot \frac{1/2}{2} = 11.25 \text{ рублей.} ]

е. То же, что и в пункте д, но в первый день работал один Коля

1. Работа Коли за 1 день: [ \text{Работа Коли} = 1/3 ]

2. Остаток работы: [ \text{Остаток} = 1 - 1/3 = 2/3 ]

Теперь определим, сколько времени потребуется Коля и Вася, чтобы завершить оставшуюся работу вместе: [ K + V = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} ] Время, необходимое для выполнения оставшейся работы: [ t_{KV} = \frac{2/3}{1/2} = \frac{4}{3} \text{ дня.} ]

Общее время работы: [ t_{total} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} \text{ дня.} ]

Теперь распределим 45 рублей по времени работы:

• Коля работал 1 день.
• Коля и Вася работали (\frac{4}{3}) дня вместе.

Общее количество "человек-дней": [ 1 \text{ (Коля)} + \frac{4}{3} \text{ (Коля и Вася)} = \frac{7}{3} \text{ человек-дня.} ]

Доля каждого: [ \text{Доля Коли} = 45 \cdot \frac{1}{(7/3)} = 45 \cdot \frac{3}{7} = \frac{135}{7} \approx 19.29 \text{ рублей,} ] [ \text{Доля Васи} = 45 \cdot \frac{2/3}{(7/3)} = 45 \cdot \frac{2}{7} = \frac{90}{7} \approx 12.86 \text{ рублей.} ]

ж. То же, что и в пункте д, но в первый день работал один Вася

1. Работа Васи за 1 день: [ \text{Работа Васи} = 1/6 ]

2. Остаток работы: [ \text{Остаток} = 1 - 1/6 = 5/6 ]

Теперь определим, сколько времени потребуется Коля и Вася, чтобы завершить оставшуюся работу вместе: [ K + V = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} ] Время, необходимое для выполнения оставшейся работы: [ t_{KV} = \frac{5/6}{1/2} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \text{ дня.} ]

Общее время работы: [ t_{total} = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} \text{ дня.} ]

Теперь распределим 45 рублей по времени работы:

• Вася работал 1 день.
• Коля и Вася работали (\frac{5}{3}) дня вместе.

Общее количество "человек-дней": [ 1 \text{ (Вася)} + \frac{5}{3} \text{ (Коля и Вася)} = \frac{8}{3} \text{ человек-дня.} ]

Доля каждого: [ \text{Доля Васи} = 45 \cdot \frac{1}{(8/3)} = 45 \cdot \frac{3}{8} = \frac{135}{8} \approx 16.88 \text{ рублей,} ] [ \text{Доля Коли} = 45 \cdot \frac{5/3}{(8/3)} = 45 \cdot \frac{5}{8} = \frac{225}{8} \approx 28.12 \text{ рублей.} ]

з. То же, что и в пункте д, но в первый день работали Коля и Вася вместе, затем Вася ушел, а Коля с Петей закончили работу.

1. Работа Коли и Васи за 1 день: [ \text{Работа Коли и Васи} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} ]

2. Остаток работы: [ \text{Остаток} = 1 - 1/2 = 1/2 ]

Теперь определим, сколько времени потребуется Коля и Петя, чтобы завершить оставшуюся работу: [ P + K = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} ] Время, необходимое для выполнения оставшейся работы: [ t_{PK} = \frac{1/2}{5/6} = \frac{3}{5} \text{ дня.} ]

Общее время работы: [ t_{total} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} \text{ дня.} ]

Теперь распределим 45 рублей по времени работы:

• Коля и Вася работали 1 день вместе.
• Петя и Коля работали (\frac{3}{5}) дня.

Общее количество "человек-дней": [ 1 \text{ (Коля и Вася)} + \frac{3}{5} \text{ (Петя и Коля)} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} \text{ человек-дня.} ]

Доля каждого: [ \text{Доля Коли} = 45 \cdot \frac{1}{(8/5)} = 45 \cdot \frac{5}{8} = \frac{225}{8} \approx 28.12 \text{ рублей,} ] [ \text{Доля Васи} = 45 \cdot \frac{1/2}{(8/5)} = 45 \cdot \frac{5}{16} = \frac{225}{16} \approx 14.06 \text{ рублей.} ]

Итак, мы рассмотрели все пункты задачи и распределили заработанные деньги справедливо среди всех участников.