Пользуясь определением,найдите производную функции f(x) в каждой точке D(f): а) f(x)=√x-2 б) f(x)=4-2/x^2

а) Для первой функции f(x) = √x - 2 используем определение производной: f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h. Подставляем функцию f(x) = √x - 2 в это определение и находим производную:

f'(x) = lim (h->0) [√(x + h) - 2 - √x + 2] / h f'(x) = lim (h->0) [√(x + h) - √x] / h f'(x) = lim (h->0) [(√(x + h) - √x) * (√(x + h) + √x)] / h (√(x + h) + √x) f'(x) = lim (h->0) [(x + h) - x] / h (√(x + h) + √x) f'(x) = lim (h->0) h / h * (√(x + h) + √x) f'(x) = lim (h->0) √(x + h) + √x f'(x) = 1/(2√x)

Таким образом, производная функции f(x) = √x - 2 в точке D(f) равна 1/(2√x).

б) Для второй функции f(x) = 4 - 2/x^2 используем определение производной: f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h. Подставляем функцию f(x) = 4 - 2/x^2 в это определение и находим производную:

f'(x) = lim (h->0) [4 - 2/(x + h)^2 - 4 + 2/x^2] / h f'(x) = lim (h->0) [- 2/(x + h)^2 + 2/x^2] / h f'(x) = lim (h->0) [(- 2x^2 + 2(x + h)^2) / (x^2(x + h)^2)] / h f'(x) = lim (h->0) [(- 2x^2 + 2(x^2 + 2xh + h^2)) / (x^2(x + h)^2)] / h f'(x) = lim (h->0) [- 2x^2 + 2x^2 + 4xh + 2h^2 / (x^2(x + h)^2)] / h f'(x) = lim (h->0) [4xh + 2h^2 / (x^2(x + h)^2)] / h f'(x) = lim (h->0) [2h(2x + h) / (x^2(x + h)^2)] f'(x) = 2/(x^3)

Таким образом, производная функции f(x) = 4 - 2/x^2 в точке D(f) равна 2/(x^3).

Чтобы найти производную функции ( f(x) ) в каждой точке её области определения ( D(f) ), воспользуемся определением производной. Производная функции ( f(x) ) в точке ( x ) определяется как предел:

[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]

Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

а) ( f(x) = \sqrt{x} - 2 )

Область определения: Функция ( f(x) = \sqrt{x} - 2 ) определена для ( x \geq 0 ), поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Производная:

1. Подставим функцию в определение производной:

   [ f'(x) = \lim{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - 2 - (\sqrt{x} - 2)}{h} = \lim{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} ]

2. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение (\sqrt{x+h} + \sqrt{x}) для избавления от иррациональности:

   [ f'(x) = \lim{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} ]

3. Упростим:

   [ f'(x) = \lim{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} ]

4. Предел:

   [ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = \sqrt{x} - 2 ) равна ( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} ) для ( x > 0 ).

б) ( f(x) = 4 - \frac{2}{x^2} )

Область определения: Функция ( f(x) = 4 - \frac{2}{x^2} ) определена для всех ( x \neq 0 ).

Производная:

1. Подставим функцию в определение производной:

   [ f'(x) = \lim{h \to 0} \frac{\left(4 - \frac{2}{(x+h)^2}\right) - \left(4 - \frac{2}{x^2}\right)}{h} = \lim{h \to 0} \frac{-\frac{2}{(x+h)^2} + \frac{2}{x^2}}{h} ]

2. Приведём дроби к общему знаменателю:

   [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2x^2 + 2(x+h)^2}{h(x^2(x+h)^2)} ]

3. Упростим числитель:

   [ -2x^2 + 2(x^2 + 2xh + h^2) = 4xh + 2h^2 ]

4. Подставим и упростим:

   [ f'(x) = \lim{h \to 0} \frac{4xh + 2h^2}{hx^2(x^2 + 2xh + h^2)} = \lim{h \to 0} \frac{h(4x + 2h)}{hx^2(x^2 + 2xh + h^2)} ]

5. После сокращения на ( h ):

   [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{4x + 2h}{x^2(x^2 + 2xh + h^2)} ]

6. Предел, устремляя ( h ) к нулю:

   [ f'(x) = \frac{4x}{x^4} = -\frac{4}{x^3} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = 4 - \frac{2}{x^2} ) равна ( f'(x) = \frac{4}{x^3} ) для ( x \neq 0 ).