Помогите найти: напишите подробное решение 1) ∫√(4x+5 ) dx 2) ∫dx/√(1-4x^2 )
Помогите найти: напишите подробное решение 1) ∫√(4x+5 ) dx 2) ∫dx/√(1-4x^2 )
1) ∫√(4x+5) dx
Для начала проведем замену переменной: 4x + 5 = t, откуда dx = dt / 4. Теперь интеграл примет вид:
∫√t * (1/4) dt
Далее можно использовать метод замены переменной или интегрирования по частям, чтобы найти интеграл.
2) ∫dx/√(1-4x^2)
Для решения данного интеграла можно использовать замену переменной: x = sin(u) или x = cos(u). После замены получится интеграл от функции, которую можно выразить через элементарные функции.
1) Рассмотрим интеграл ∫√(4x+5) dx. Для начала проведем замену переменной: пусть 4x + 5 = t. Тогда dx = dt/4. Подставим это в интеграл:
∫√t (1/4) dt = (1/4) ∫√t dt.
Теперь проинтегрируем √t:
(1/4) ∫t^(1/2) dt = (1/4) (2/3) t^(3/2) + C = (1/6) t^(3/2) + C.
Вернемся к исходной переменной x:
(1/6) * (4x + 5)^(3/2) + C.
2) Рассмотрим интеграл ∫dx/√(1-4x^2). Для его решения воспользуемся методом подстановки. Пусть 1 - 4x^2 = t. Тогда -8x dx = dt. Решим это уравнение относительно dx: dx = -dt/(8x).
Подставим это в интеграл:
∫(-dt/(8x)) / √t = -1/8 * ∫dt / (x√t).
Теперь проведем замену переменной: x√t = u. Тогда √t = u/x, dt = 2u du. Подставим это в интеграл:
-1/8 ∫(2u du) / u = -1/8 ∫2 du = -1/4 u + C = -1/4 x√(1-4x^2) + C.
Конечно, давайте разберемся с интегралами по порядку:
Для решения этого интеграла используем метод подстановки. Сделаем замену переменной:
u = 4x + 5
Тогда производная u по x будет:
du/dx = 4,
или
du = 4 dx.
Отсюда dx = du / 4.
Теперь заменим в интеграле все x на u:
∫√(4x + 5) dx = ∫√u * (du / 4).
Выносим константу 1/4 за знак интеграла:
= (1/4) ∫√u du.
Интеграл от √u (или u^(1/2)) по u:
∫u^(1/2) du = (2/3) u^(3/2) + C,
где C — постоянная интегрирования.
Теперь подставим u обратно:
= (1/4) (2/3) (4x + 5)^(3/2) + C, = (1/6) * (4x + 5)^(3/2) + C.
Таким образом, результат:
∫√(4x + 5) dx = (1/6) * (4x + 5)^(3/2) + C.
Этот интеграл решается с помощью тригонометрической подстановки. Сделаем замену переменной:
2x = sin(θ),
или
x = (1/2) sin(θ).
Тогда производная x по θ будет:
dx/dθ = (1/2) cos(θ), или dx = (1/2) cos(θ) dθ.
Теперь заменим переменные в интеграле:
∫ dx / √(1 - 4x^2) = ∫ (1/2) cos(θ) dθ / √(1 - 4 (1/2)^2 sin^2(θ)).
Упростим подкоренное выражение:
1 - 4 (1/4) sin^2(θ) = 1 - sin^2(θ).
Поскольку 1 - sin^2(θ) = cos^2(θ), то
√(1 - sin^2(θ)) = |cos(θ)|.
Но так как cos(θ) dθ присутствует в числителе, мы можем избавиться от знака модуля:
∫ (1/2) cos(θ) dθ / cos(θ) = ∫ (1/2) dθ.
Теперь интегрируем:
= (1/2) ∫ dθ = (1/2) θ + C.
Теперь вернемся к исходной переменной x. Напомним, что x = (1/2) sin(θ), тогда θ = arcsin(2x).
Следовательно, окончательный результат:
∫ dx / √(1 - 4x^2) = (1/2) arcsin(2x) + C.
Надеюсь, это поможет! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.
