Помогите найти точку минимума функции y=25/x+x+25 только напишите все подробно а тоя запуталась

Для нахождения точки минимума функции y = 25/x + x + 25 нужно найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

1. Найдем производную функции y по x: y' = d(25/x)/dx + d(x)/dx + d(25)/dx y' = -25/x^2 + 1

2. Приравняем производную к нулю и найдем точку, в которой производная равна нулю: -25/x^2 + 1 = 0 -25/x^2 = -1 25/x^2 = 1 x^2 = 25 x = ±5

3. Исследуем полученные точки на минимум: Для точки x = 5: y = 25/5 + 5 + 25 y = 5 + 5 + 25 y = 35

Для точки x = -5: y = 25/-5 - 5 + 25 y = -5 - 5 + 25 y = 15

Таким образом, точка минимума функции y = 25/x + x + 25 равна (5, 35), а точка (-5, 15) является точкой максимума.

Чтобы найти точку минимума функции ( y = \frac{25}{x} + x + 25 ), нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение производной и исследование ее поведения. Давайте разберем это подробно.

1. Найдем производную функции: Функция дана как ( y = \frac{25}{x} + x + 25 ).

   Производная суммы равна сумме производных, поэтому найдем производные каждого из слагаемых:

   • Производная от ( \frac{25}{x} ) равна (-\frac{25}{x^2}) (это следствие правила нахождения производной от ( \frac{a}{x} )).
   • Производная от ( x ) равна 1.
   • Производная от константы 25 равна 0.

   Таким образом, производная функции ( y ) будет: [ y' = -\frac{25}{x^2} + 1 ]

2. Найдем критические точки: Критические точки находятся путем приравнивания первой производной к нулю: [ -\frac{25}{x^2} + 1 = 0 ]

   Решим это уравнение: [ -\frac{25}{x^2} = -1 ] [ \frac{25}{x^2} = 1 ] [ 25 = x^2 ] [ x^2 = 25 ] [ x = \pm 5 ]

   Мы получили два значения: ( x = 5 ) и ( x = -5 ).

3. Исследуем поведение производной: Чтобы определить, является ли точка минимумом или максимумом, проверим знак производной ( y' ) в интервалах, определенных критическими точками.

   • Для интервала ( x < -5 ), выберем значение ( x = -6 ): [ y' = -\frac{25}{(-6)^2} + 1 = -\frac{25}{36} + 1 \approx -0.694 + 1 = 0.306 ] Производная положительная.

   • Для интервала ( -5 < x < 5 ), выберем значение ( x = 0 ): [ y' = -\frac{25}{0^2} + 1 ] Здесь производная не определена, так как деление на 0 невозможно.

   • Для интервала ( x > 5 ), выберем значение ( x = 6 ): [ y' = -\frac{25}{6^2} + 1 = -\frac{25}{36} + 1 \approx -0.694 + 1 = 0.306 ] Производная положительная.

   Из этого анализа видно, что функция ( y ) имеет минимум при ( x = 5 ), так как производная меняет знак с отрицательного на положительный, проходя через ноль.

4. Найдем значение функции в точке минимума: Подставим ( x = 5 ) в исходную функцию: [ y = \frac{25}{5} + 5 + 25 = 5 + 5 + 25 = 35 ]

Таким образом, точка минимума функции ( y = \frac{25}{x} + x + 25 ) — это ( x = 5 ), а значение функции в этой точке равно 35.