Помогите построить график функции: у=tg2x объясните он растянится или что?

Конечно, давайте разберемся с графиком функции ( y = \tan(2x) ).

Основные свойства функции ( y = \tan(x) )

Сначала вспомним основные свойства функции тангенс:

1. Периодичность: ( \tan(x) ) имеет период ( \pi ). Это значит, что ( \tan(x + \pi) = \tan(x) ).
2. Асимптоты: Функция ( \tan(x) ) имеет вертикальные асимптоты в точках ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi ), где ( k ) — целое число.
3. Нули функции: ( \tan(x) ) равна нулю в точках ( x = k\pi ), где ( k ) — целое число.
4. Поведение: Между асимптотами функция возрастает от (-\infty) до (+\infty).

Преобразование функции ( y = \tan(2x) )

Теперь рассмотрим, как изменяется график при переходе от ( y = \tan(x) ) к ( y = \tan(2x) ).

1. Период:

   • У функции ( y = \tan(2x) ) период изменится. Новый период будет равен ( \frac{\pi}{2} ), потому что ( \tan(2(x + \frac{\pi}{2})) = \tan(2x + \pi) = \tan(2x) ).
   • Таким образом, функция повторяется каждые ( \frac{\pi}{2} ), что в два раза чаще, чем у оригинальной функции ( y = \tan(x) ).

2. Асимптоты:

   • Асимптоты теперь будут в точках, где аргумент функции ( 2x ) равен ( \pi/2 + k\pi ). То есть ( 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi ).
   • Решим это уравнение относительно ( x ): ( x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} ).
   • Таким образом, асимптоты будут в точках ( x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} ).

3. Нули функции:

   • Нули функции ( y = \tan(2x) ) будут в точках, где ( 2x = k\pi ). То есть ( x = \frac{k\pi}{2} ).
   • Таким образом, нули будут в точках ( x = \frac{k\pi}{2} ).

4. График:

   • График функции ( y = \tan(2x) ) является сжатием графика ( y = \tan(x) ) по оси ( x ) в два раза. Это значит, что все особенности (асимптоты, нули, возрастающие и убывающие участки) будут встречаться в два раза чаще.

Построение графика

1. Определите асимптоты: Вертикальные линии ( x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} ) (где ( k ) — целое число).
2. Определите нули: Точки ( x = \frac{k\pi}{2} ).
3. Нарисуйте одну периодическую часть: Между двумя соседними асимптотами, например от ( x = -\frac{\pi}{4} ) до ( x = \frac{\pi}{4} ).
4. Повторите: Копируйте эту часть графика, сдвигая её на ( \frac{\pi}{2} ) влево и вправо, чтобы получить полную картину.

Заключение

Функция ( y = \tan(2x) ) является сжатием функции ( y = \tan(x) ) по горизонтали в два раза. Этот сдвиг изменяет период функции и делает её осцилляции более частыми. График ( y = \tan(2x) ) будет иметь вертикальные асимптоты в точках ( x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} ) и нули в точках ( x = \frac{k\pi}{2} ).

Для построения графика функции y = tan(2x) необходимо учитывать основные свойства тангенса и удвоенного угла.

1. График функции y = tan(x) имеет период π и асимптоты в точках x = (π/2)k, где k - целое число.
2. График функции y = tan(2x) будет иметь удвоенный период, то есть π/2 и асимптоты в точках x = (π/4)k.
3. Учитывая, что tan(2x) = sin(2x) / cos(2x), мы можем использовать тождество тангенса удвоенного угла: tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x)).

Исходя из этих свойств, можно построить график функции y = tan(2x), учитывая период и асимптоты. График будет подобным графику функции y = tan(x), но с удвоенным периодом и измененными точками пересечения оси x и асимптотами.

Таким образом, график функции y = tan(2x) будет растянут вдоль оси x по сравнению с графиком функции y = tan(x) из-за удвоенного периода.