Помогите пожалуйста исследовать функцию у=х^5-5х

Для исследования функции у=х^5-5х необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции у по переменной х. Для этого применим правило дифференцирования степенной функции: (x^n)' = nx^(n-1). В данном случае получаем у' = 5x^4 - 5.

2. Найти точки экстремума функции, приравняв производную к нулю: 5*x^4 - 5 = 0. Решив это уравнение, найдем x = ±1. Подставив найденные значения обратно в исходную функцию, получим точки экстремума у = -4 и у = 4.

3. Исследовать функцию на монотонность. Для этого можно построить знаковую таблицу производной и выяснить, в каких интервалах функция возрастает или убывает.

4. Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость. Для этого можно найти вторую производную у'' = 20*x^3 и анализировать ее знак на различных интервалах.

5. Найти точки перегиба функции, приравняв вторую производную к нулю: 20*x^3 = 0. Решив это уравнение, найдем x = 0. Подставив это значение обратно в функцию, получим точку перегиба у = 0.

Таким образом, проведя вышеописанные шаги, можно получить подробное исследование функции у=х^5-5х и определить ее основные характеристики.

Исследование функции ( y = x^5 - 5x ) включает несколько шагов, таких как нахождение её критических точек, определение промежутков возрастания и убывания, точек перегиба и выпуклости, а также построение графика. Давайте разберем этот процесс пошагово.

1. Нахождение производной: Производная функции ( y = x^5 - 5x ) нужна для определения критических точек.

   [ y' = \frac{d}{dx}(x^5 - 5x) = 5x^4 - 5 ]

2. Нахождение критических точек: Критические точки находятся из уравнения ( y' = 0 ).

   [ 5x^4 - 5 = 0 ] [ 5(x^4 - 1) = 0 ] [ x^4 - 1 = 0 ] [ (x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0 ]

   Решаем это уравнение: [ x^2 - 1 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 1 = 0 ] [ x = \pm 1 \quad \text{(действительные корни)} ] [ x^2 + 1 = 0 \quad \text{не имеет действительных корней} ]

   Таким образом, критические точки: ( x = 1 ) и ( x = -1 ).

3. Исследование промежутков возрастания и убывания: Определим знаки производной на различных промежутках.

   [ y' = 5(x^4 - 1) = 5(x-1)(x+1)(x^2+1) ]

   Рассмотрим знаки производной на промежутках:

   • ( (-\infty, -1) )
   • ( (-1, 1) )
   • ( (1, \infty) )

   Проверим знаки на этих интервалах:

   • На промежутке ( (-\infty, -1) ): ( y' < 0 ) (функция убывает)
   • На промежутке ( (-1, 1) ): ( y' > 0 ) (функция возрастает)
   • На промежутке ( (1, \infty) ): ( y' < 0 ) (функция убывает)

4. Нахождение точек перегиба и исследование выпуклости: Для этого нужно найти вторую производную ( y'' ).

   [ y'' = \frac{d}{dx}(5x^4 - 5) = 20x^3 ]

   Найдем точки перегиба из уравнения ( y'' = 0 ).

   [ 20x^3 = 0 ] [ x = 0 ]

   Проверим знаки второй производной на промежутках:

   • ( (-\infty, 0) ): ( y'' < 0 ) (функция вогнута вниз)
   • ( (0, \infty) ): ( y'' > 0 ) (функция вогнута вверх)

   Точка ( x = 0 ) является точкой перегиба.

5. Построение графика: На основе полученной информации можем построить график функции:

   • Функция убывает на интервале ( (-\infty, -1) ).
   • Функция возрастает на интервале ( (-1, 1) ).
   • Функция убывает на интервале ( (1, \infty) ).
   • Точка ( x = 0 ) является точкой перегиба.

Таблица значений для некоторых точек может помочь в построении графика:

[ \begin{array}{c|c} x & y \ \hline -2 & -22 \ -1 & 4 \ 0 & 0 \ 1 & -4 \ 2 & 22 \ \end{array} ]

На основании всех данных можно построить график функции ( y = x^5 - 5x ).

График этой функции имеет характерную форму с двумя локальными экстремумами (максимум в точке ( x = -1 ) и минимум в точке ( x = 1 )) и точкой перегиба в начале координат.