Помогите пожалуйста решить 3cos^2x+cosx-4=0

Данное уравнение можно решить путем замены cos(x) = t, тогда уравнение примет вид 3t^2 + t - 4 = 0. Решив это квадратное уравнение, найдем значения t. Далее подставляем обратно cos(x) вместо t и находим значения x.

Конечно, давайте решим уравнение (3\cos^2x + \cos x - 4 = 0).

Это квадратное уравнение относительно (\cos x). Для его решения сначала заменим (\cos x) на переменную (y), чтобы упростить уравнение. Таким образом, уравнение принимает вид:

[ 3y^2 + y - 4 = 0. ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}, ]

где (a = 3), (b = 1), (c = -4).

Сначала вычислим дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49. ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных вещественных корня:

[ y_{1,2} = \frac{{-1 \pm \sqrt{49}}}{6}. ]

Находим корни:

[ y_1 = \frac{{-1 + 7}}{6} = 1, ]

[ y_2 = \frac{{-1 - 7}}{6} = -\frac{4}{3}. ]

Теперь вернемся к (\cos x):

1. (\cos x = 1):

   Решение уравнения (\cos x = 1) в общем виде:

   [ x = 2\pi n, ]

   где (n) — целое число.

2. (\cos x = -\frac{4}{3}):

   Заметим, что значение (-\frac{4}{3}) выходит за пределы допустимых значений для функции (\cos x), так как (\cos x) лежит в интервале ([-1, 1]). Таким образом, это уравнение не имеет решений.

Итак, окончательный ответ для данного уравнения:

[ x = 2\pi n, ]

где (n) — любое целое число.

Для решения уравнения 3cos^2x + cosx - 4 = 0 нужно привести его к квадратному уравнению относительно cosx.

Пусть z = cosx, тогда уравнение примет вид:

3z^2 + z - 4 = 0

Теперь найдем корни данного квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 3, b = 1, c = -4

D = 1^2 - 43(-4) = 1 + 48 = 49

Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня:

z1 = (-b + √D) / 2a = (-1 + 7) / 6 = 6 / 6 = 1

z2 = (-b - √D) / 2a = (-1 - 7) / 6 = -8 / 6 = -4/3

Теперь найдем значения углов, для которых cosx = 1 и cosx = -4/3. Обратимся к таблице значений косинуса:

1. Для cosx = 1 имеем x = 0 + 2πk, где k - целое число.
2. Для cosx = -4/3 нет действительных решений, так как косинус не может принимать значения вне отрезка [-1, 1].

Итак, уравнение 3cos^2x + cosx - 4 = 0 имеет одно решение x = 0 + 2πk, где k - целое число.