Помогите пожалуйста решить х(х+10)(х-3)≤0 методом интервалов

Чтобы решить неравенство ( x(x + 10)(x - 3) \leq 0 ) методом интервалов, следуем следующему алгоритму:

Шаг 1: Найти корни неравенства

Сначала найдем корни уравнения ( x(x + 10)(x - 3) = 0 ). Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. ( x = 0 )
2. ( x + 10 = 0 ) → ( x = -10 )
3. ( x - 3 = 0 ) → ( x = 3 )

Таким образом, корни неравенства: ( x = -10, 0, 3 ).

Шаг 2: Определить интервалы

Корни разбивают числовую прямую на несколько интервалов:

1. ( (-\infty, -10) )
2. ( (-10, 0) )
3. ( (0, 3) )
4. ( (3, +\infty) )

Шаг 3: Проверить знак выражения на каждом интервале

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство ( x(x + 10)(x - 3) ).

1. Интервал ( (-\infty, -10) ): выберем, например, ( x = -11 ) [ -11(-11 + 10)(-11 - 3) = -11(-1)(-14) = -154 > 0 ]

2. Интервал ( (-10, 0) ): выберем, например, ( x = -5 ) [ -5(-5 + 10)(-5 - 3) = -5(5)(-8) = 200 > 0 ]

3. Интервал ( (0, 3) ): выберем, например, ( x = 1 ) [ 1(1 + 10)(1 - 3) = 1(11)(-2) = -22 < 0 ]

4. Интервал ( (3, +\infty) ): выберем, например, ( x = 4 ) [ 4(4 + 10)(4 - 3) = 4(14)(1) = 56 > 0 ]

Шаг 4: Составить итоговую таблицу знаков

Теперь соберем информацию о знаках:

• ( (-\infty, -10) ): ( + )
• ( (-10, 0) ): ( + )
• ( (0, 3) ): ( - )
• ( (3, +\infty) ): ( + )

Шаг 5: Определить включение корней

Теперь определим, где неравенство ( x(x + 10)(x - 3) \leq 0 ) выполняется. Мы ищем значения, где выражение меньше или равно нулю.

• На интервалах ( (-\infty, -10) ) и ( (-10, 0) ) выражение больше нуля.
• На интервале ( (0, 3) ) выражение меньше нуля.
• На границах: ( x = -10 ) (ноль), ( x = 0 ) (ноль), и ( x = 3 ) (ноль).

Шаг 6: Записать ответ

Таким образом, решением неравенства будет:

[ x \in [-10, 0] \cup [3, 3] ]

Или в более компактном виде:

[ [-10, 0] \cup {3} ]

Это значит, что ( x ) может принимать значения от ( -10 ) до ( 0 ) включительно, а также равно ( 3 ).

Давайте решим неравенство ( x(x + 10)(x - 3) \leq 0 ) методом интервалов подробно.

Шаг 1. Найдем нули функции

Для метода интервалов сначала определим, при каких значениях (x) выражение (x(x + 10)(x - 3)) становится равным нулю.

Нули функции можно найти, решив уравнение:

[ x(x + 10)(x - 3) = 0 ]

Тут произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. (x = 0),
2. (x + 10 = 0 \implies x = -10),
3. (x - 3 = 0 \implies x = 3).

Итак, нули функции: (x = -10), (x = 0), (x = 3).

Шаг 2. Определим промежутки

Эти корни разбивают числовую прямую на несколько промежутков. Отметим на числовой оси точки (-10), (0) и (3). Теперь у нас есть 4 промежутка:

1. ( (-\infty, -10) ),
2. ( (-10, 0) ),
3. ( (0, 3) ),
4. ( (3, +\infty) ).

На каждом из этих промежутков знак выражения (x(x + 10)(x - 3)) может быть разным, поэтому проверим его.

Шаг 3. Проверим знаки на каждом промежутке

Для определения знака выражения на каждом промежутке достаточно подставить любое число из этого промежутка в исходное выражение (x(x + 10)(x - 3)).

1. Промежуток ((- \infty, -10)):

Возьмем тестовую точку, например, (x = -11).

Подставляем в (x(x + 10)(x - 3)): [ (-11)((-11) + 10)((-11) - 3) = (-11)(-1)(-14) = -11 \cdot (-1) \cdot (-14) = -154. ] Знак: отрицательный ((-)).

2. Промежуток ((-10, 0)):

Возьмем тестовую точку, например, (x = -5).

Подставляем в (x(x + 10)(x - 3)): [ (-5)((-5) + 10)((-5) - 3) = (-5)(5)(-8) = -5 \cdot 5 \cdot (-8) = 200. ] Знак: положительный ((+)).

3. Промежуток ((0, 3)):

Возьмем тестовую точку, например, (x = 1).

Подставляем в (x(x + 10)(x - 3)): [ (1)((1) + 10)((1) - 3) = (1)(11)(-2) = 1 \cdot 11 \cdot (-2) = -22. ] Знак: отрицательный ((-)).

4. Промежуток ((3, +\infty)):

Возьмем тестовую точку, например, (x = 4).

Подставляем в (x(x + 10)(x - 3)): [ (4)((4) + 10)((4) - 3) = (4)(14)(1) = 4 \cdot 14 \cdot 1 = 56. ] Знак: положительный ((+)).

Шаг 4. Учитываем знак неравенства

Нам нужно решить неравенство (x(x + 10)(x - 3) \leq 0), то есть найти те промежутки, где выражение меньше или равно нулю (( \leq 0)).

1. Выражение отрицательно ((-)) на промежутках ((- \infty, -10)) и ((0, 3)).
2. Выражение равно нулю в точках (x = -10), (x = 0), (x = 3) (так как произведение равно нулю).

Таким образом, решение включает промежутки, где выражение отрицательно, и точки, где оно равно нулю.

Шаг 5. Записываем ответ

Объединяем подходящие промежутки и точки:

[ x \in [-10, 0] \cup [0, 3]. ]

Это и есть решение неравенства (x(x + 10)(x - 3) \leq 0).

Шаг 6. Итог

1. Метод интервалов заключается в разбиении числовой прямой на промежутки с помощью корней выражения.
2. На каждом промежутке определяем знак выражения.
3. Учитываем знак неравенства (( \leq 0)) и включаем подходящие промежутки.

Ответ: (x \in [-10, 0] \cup [0, 3]).