Помогите пожалуйста решить неравенство : log_2(x^2-4) -3*log_2((x+2)/(x-2)) >= 2

1. Перепишем левую часть неравенства с помощью свойства логарифмов: log2((x^2-4)/(x+2)/(x-2)^3) >= 2.
2. Преобразуем выражение в экспоненциальную форму: (x^2-4)/(x+2)/(x-2)^3 >= 2^2 = 4.
3. После упрощения получим: (x^2-4)/(x+2)/(x-2)^3 >= 4.
4. Решим неравенство и найдем область допустимых значений для x.

Конечно, давайте разберем решение данного неравенства шаг за шагом:

Неравенство: [ \log_2(x^2 - 4) - 3 \log_2\left(\frac{x+2}{x-2}\right) \geq 2 ]

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

   • Для логарифмов аргумент должен быть положительным. [ x^2 - 4 > 0 \quad \text{и} \quad \frac{x+2}{x-2} > 0 ] Рассмотрим каждое неравенство отдельно:
   • ( x^2 - 4 > 0 ): [ (x - 2)(x + 2) > 0 ] Решаем методом интервалов: [ x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) ]
   • ( \frac{x+2}{x-2} > 0 ): [ \begin{cases} x + 2 > 0 \ x - 2 > 0 \ \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x + 2 < 0 \ x - 2 < 0 \ \end{cases} ] Решаем: [ x \in (2, \infty) \quad \text{или} \quad x \in (-\infty, -2) ] Таким образом, ОДЗ: [ x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) ]

2. Преобразование неравенства:

   • Представим логарифмы в удобной форме: [ \log_2(x^2 - 4) - 3 \log_2\left(\frac{x+2}{x-2}\right) \geq 2 ]
   • Используем свойства логарифмов: [ \log_2(x^2 - 4) - \log_2\left(\left(\frac{x+2}{x-2}\right)^3\right) \geq 2 ]
   • Упрощаем: [ \log_2(x^2 - 4) - \log_2\left(\frac{(x+2)^3}{(x-2)^3}\right) \geq 2 ]
   • Используем свойство разности логарифмов: [ \log_2\left(\frac{x^2 - 4}{\frac{(x+2)^3}{(x-2)^3}}\right) \geq 2 ]
   • Упростим выражение: [ \log_2\left(\frac{(x - 2)(x + 2)}{\frac{(x + 2)^3}{(x - 2)^3}}\right) \geq 2 ]
   • Получаем: [ \log_2\left(\frac{(x - 2)(x + 2) \cdot (x - 2)^3}{(x + 2)^3}\right) \geq 2 ]
   • Сведем подобные члены: [ \log_2\left(\frac{(x - 2)^4}{(x + 2)^2}\right) \geq 2 ]

3. Решение полученного неравенства:

   • Применяем свойство логарифма: [ \log_2\left(\left(\frac{(x - 2)^4}{(x + 2)^2}\right)\right) \geq 2 ]
   • Упростим: [ \frac{(x - 2)^4}{(x + 2)^2} \geq 2^2 ]
   • Получаем: [ \frac{(x - 2)^4}{(x + 2)^2} \geq 4 ]

4. Решение рационального неравенства:

   • Умножаем обе части на ((x + 2)^2) (положительное на ОДЗ): [ (x - 2)^4 \geq 4(x + 2)^2 ]
   • Введем замену ( t = x - 2 ): [ t^4 \geq 4(t + 4)^2 ]
   • Упростим: [ t^4 \geq 4(t^2 + 8t + 16) ]
   • Раскроем скобки и приведем к стандартному виду: [ t^4 - 4t^2 - 32t - 64 \geq 0 ]
   • Решаем неравенство методом интервалов или анализа корней, заметив, что: [ t = \pm 4 ]
   • Возвращаемся к переменной ( x ): [ x - 2 = \pm 4 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \quad \text{или} \quad x = -2 ]

5. Проверка на ОДЗ:

   • ( x = 6 ) принадлежит ОДЗ.
   • ( x = -2 ) не принадлежит ОДЗ.

Таким образом, решением данного неравенства является: [ x \geq 6 ]

Для решения данного неравенства, необходимо привести его к более простому виду.

1. Применим свойство логарифмов: log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c). Получаем: log_2((x^2-4)/((x+2)/(x-2))^3) >= 2.

2. Упростим выражение внутри логарифма: (x^2-4)/((x+2)/(x-2))^3 = (x^2-4)/((x+2)^3/(x-2)^3) = (x^2-4)*(x-2)^3/(x+2)^3.

3. Подставим упрощенное выражение обратно в неравенство: log_2((x^2-4)*(x-2)^3/(x+2)^3) >= 2.

4. Преобразуем логарифм в экспоненциальную форму: (x^2-4)*(x-2)^3/(x+2)^3 >= 2^2 = 4.

5. Упростим неравенство: (x^2-4)(x-2)^3/(x+2)^3 >= 4, (x^2-4)(x-2)^3 >= 4*(x+2)^3.

6. Раскроем скобки: (x^2-4)(x^3-6x^2+12x-8) >= 4(x^3+6x^2+12x+8), x^5-6x^4+12x^3-8x^2-4x^3+24x^2-48x+32 >= 4x^3+24x^2+48x+32, x^5-6x^4+8x^3-32x^2-48x+32 >= 4x^3+24x^2+48x+32, x^5-6x^4+4x^3-56x^2 >= 0.

7. Решим данное уравнение численно или графически, чтобы найти значения x, при которых неравенство выполнено.