Помогите пожалуйста решить систему уравнений по алгебре : {xy = 8, {x2 + y2 = 20.

Чтобы решить данную систему уравнений, начнем с первого уравнения:

[ xy = 8. ]

Теперь рассмотрим второе уравнение:

[ x^2 + y^2 = 20. ]

Воспользуемся тем, что (x^2 + y^2) можно переписать через квадрат суммы и двойное произведение:

[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy. ]

Подставим известные значения из уравнений:

[ 20 = (x + y)^2 - 2 \cdot 8. ]

[ 20 = (x + y)^2 - 16, ]

[ (x + y)^2 = 36. ]

[ x + y = \pm 6. ]

Теперь у нас есть два случая:

1. ( x + y = 6 )
2. ( x + y = -6 )

Рассмотрим первый случай ( x + y = 6 ). Подставим это в уравнение ( xy = 8 ) и решим систему:

[ x + y = 6, ] [ xy = 8. ]

Такие уравнения можно решить с помощью формул для корней квадратного уравнения. Представим ( x ) и ( y ) как корни квадратного уравнения:

[ t^2 - (x+y)t + xy = 0, ] [ t^2 - 6t + 8 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение:

[ t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}. ]

[ t = 4 \quad \text{или} \quad t = 2. ]

Таким образом, ( x ) и ( y ) могут быть 4 и 2 соответственно (или наоборот). Это значит, что пары ( (x, y) ) могут быть (4, 2) или (2, 4).

Теперь рассмотрим второй случай ( x + y = -6 ) и решим аналогично:

[ x + y = -6, ] [ xy = 8. ]

[ t^2 + 6t + 8 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение:

[ t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2}. ]

[ t = -2 \quad \text{или} \quad t = -4. ]

Значит, пары ( (x, y) ) могут быть (-2, -4) или (-4, -2).

Итак, решениями системы уравнений являются четыре пары: ( (4, 2), (2, 4), (-2, -4), (-4, -2) ).

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки.

Из первого уравнения выразим одну из переменных, например, y, через x: y = 8/x

Подставим данное выражение во второе уравнение: x^2 + (8/x)^2 = 20 x^2 + 64/x^2 = 20 Умножим обе части уравнения на x^2: x^4 + 64 = 20x^2 x^4 - 20x^2 + 64 = 0 Получили квадратное уравнение относительно x^2. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-20)^2 - 4164 = 400 - 256 = 144

x^2 = (20 ± √144) / 2 = (20 ± 12) / 2 x^2 = 16 или x^2 = 4

Для x^2 = 16: x = ±4

Для x^2 = 4: x = ±2

Теперь найдем соответствующие значения y: При x = 4: y = 8/4 = 2 Или y = -2

При x = -4: y = 8/-4 = -2 Или y = 2

При x = 2: y = 8/2 = 4 Или y = -4

При x = -2: y = 8/-2 = -4 Или y = 4

Таким образом, решения системы уравнений: 1) x = 4, y = 2 2) x = 4, y = -2 3) x = -4, y = -2 4) x = -4, y = 2 5) x = 2, y = 4 6) x = 2, y = -4 7) x = -2, y = -4 8) x = -2, y = 4