Помогите, пожалуйста, решить вот это: а) cos(5П/8)cos(3П/8)+sin(5П/8)sin(3П/8) б) sin(2П/15)cos(П/5)+cos(2П/15)sin(П/5) в) cos(П/12)cos(П/4)-sin(П/12)sin(П/4) г) sin(П/12)cos(П/4)-cos(П/12)sin(П/4) Если у Вас есть возможность объяснить как это делается, воспользуйтесь ей, пожалуйста! Я помню, что эти числа (П/4 и т.д.) как-то определяются по тригонометрическому кругу, НО КАК? P.S. Надеюсь на вашу совесть, ребят, давая столько пунктов, что вы объясните.
Для решения данных выражений мы можем использовать формулы сложения тригонометрических функций:
a) cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) = cos(a - b)
Значит, cos(5П/8)cos(3П/8) + sin(5П/8)sin(3П/8) = cos(5П/8 - 3П/8) = cos(П/2) = 0
б) sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) = sin(a + b)
Значит, sin(2П/15)cos(П/5) + cos(2П/15)sin(П/5) = sin(2П/15 + П/5) = sin(7П/15)
в) cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) = cos(a + b)
Значит, cos(П/12)cos(П/4) - sin(П/12)sin(П/4) = cos(П/12 + П/4) = cos(2П/3) = -1/2
г) sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) = sin(a - b)
Значит, sin(П/12)cos(П/4) - cos(П/12)sin(П/4) = sin(П/12 - П/4) = sin(-П/6) = -1/2
Чтобы понять, как определяются углы в тригонометрическом круге, можно представить себе круг с центром в начале координат и радиусом 1. Угол в радианах определяется как длина дуги, которую охватывает данный угол на окружности радиуса 1. Например, угол в П/4 радиан равен 45 градусам и соответствует четверти круга. Угол в 2П/3 радиана равен 120 градусам и соответствует двум третьим круга и т.д. Надеюсь, это объяснение поможет вам лучше понять, как работать с тригонометрическими функциями.
Давайте разберём каждое из заданий по отдельности, используя тригонометрические формулы.
а) (\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right))
Эта формула напоминает формулу для косинуса разности: [ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B ] Таким образом, мы получаем: [ \cos\left(\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) ] Значение (\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)) равно (\frac{\sqrt{2}}{2}).
б) (\sin\left(\frac{2\pi}{15}\right)\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{15}\right)\sin\left(\frac{\pi}{5}\right))
Эта формула соответствует формуле для синуса суммы: [ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B ] Таким образом, мы имеем: [ \sin\left(\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{15} + \frac{3\pi}{15}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{15}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) ] Значение (\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)) равно (\frac{\sqrt{3}}{2}).
в) (\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right))
Эта формула соответствует формуле для косинуса суммы: [ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B ] Таким образом, мы получаем: [ \cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) ] Значение (\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)) равно (\frac{1}{2}).
г) (\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right))
Эта формула соответствует формуле для синуса разности: [ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B ] Таким образом, мы имеем: [ \sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}\right) = \sin\left(-\frac{2\pi}{12}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) ] Значение (\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)) равно (-\frac{1}{2}).
Каждое значение угла (например, (\frac{\pi}{4}), (\frac{\pi}{3}), (\frac{\pi}{6})) можно определить по единичной окружности (тригонометрическому кругу), где углы измеряются в радианах. На окружности значения синуса и косинуса соответствуют координатам точки на окружности для данного угла.
