Помогите, пожалуйста, решить задачу по комбинаторике 11 класс: Юноше на один день дали 7 дисков с популярной...

Для решения задачи нам нужно определить количество способов, которыми юноша может выбрать 4 диска из 7 и упорядочить их. Однако важно заметить, что в задаче сказано "в любой последовательности". Это означает, что порядок прослушивания дисков не имеет значения. Следовательно, задача сводится к нахождению количества сочетаний.

Формула для нахождения количества сочетаний:

Сочетанием из ( n ) элементов по ( k ) называется выборка из ( n ) элементов, в которой порядок не важен. Число сочетаний обозначается как ( C(n, k) ) и вычисляется по формуле:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}, ]

где ( n! ) — факториал числа ( n ), равный произведению всех натуральных чисел от 1 до ( n ).

В нашей задаче:

• ( n = 7 ) (всего дисков),
• ( k = 4 ) (дисков, которые он успеет прослушать).

Подставим значения в формулу:

[ C(7, 4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!}. ]

Распишем факториалы:

[ 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1, ] [ 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1, ] [ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1. ]

Подставим в формулу:

[ C(7, 4) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{840}{24} = 35. ]

Ответ:

Юноша может организовать прослушивание дисков 35 способами.

Чтобы решить задачу, сначала определим, сколько дисков юноша может выбрать и в каком порядке он их будет слушать.

1. Выбор дисков. У юноши есть 7 дисков, из которых он должен выбрать 4. Количество способов выбрать 4 диска из 7 можно выразить с помощью формулы сочетаний. Формула сочетаний выглядит следующим образом:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

где ( n ) — общее количество предметов, ( k ) — количество выбираемых предметов, и ( ! ) — факториал.

В нашем случае ( n = 7 ) и ( k = 4 ):

[ C(7, 4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 ]

Таким образом, юноша может выбрать 4 диска из 7 способами 35.

1. Упорядочивание дисков. После того как юноша выбрал 4 диска, он может прослушать их в любом порядке. Количество способов упорядочить 4 диска можно выразить с помощью формулы факториала:

[ P(k) = k! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 ]

1. Общее количество способов. Чтобы найти общее количество способов, необходимо умножить количество способов выбрать диски на количество способов их упорядочить:

[ Общее\ количество\ способов = C(7, 4) \cdot P(4) = 35 \cdot 24 = 840 ]

Таким образом, юноша может организовать прослушивание 4 дисков из 7 способами 840.