Для решения задачи нам нужно определить количество способов, которыми юноша может выбрать 4 диска из 7 и упорядочить их. Однако важно заметить, что в задаче сказано "в любой последовательности". Это означает, что порядок прослушивания дисков не имеет значения. Следовательно, задача сводится к нахождению количества сочетаний.
Формула для нахождения количества сочетаний:
Сочетанием из ( n ) элементов по ( k ) называется выборка из ( n ) элементов, в которой порядок не важен. Число сочетаний обозначается как ( C(n, k) ) и вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!},
]
где ( n! ) — факториал числа ( n ), равный произведению всех натуральных чисел от 1 до ( n ).
В нашей задаче:
- ( n = 7 ) (всего дисков),
- ( k = 4 ) (дисков, которые он успеет прослушать).
Подставим значения в формулу:
[
C(7, 4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!}.
]
Распишем факториалы:
[
7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1,
]
[
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1,
]
[
3! = 3 \cdot 2 \cdot 1.
]
Подставим в формулу:
[
C(7, 4) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{840}{24} = 35.
]
Ответ:
Юноша может организовать прослушивание дисков 35 способами.