Помогите, пожалуйста) Решите систему уравнений: 1/x+1/y=1/2, 3x-y=3.

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки.

Из первого уравнения получим выражение для одной из переменных, например y:

1/x + 1/y = 1/2 1/y = 1/2 - 1/x 1/y = (x - 2)/(2x)

Теперь подставим это выражение во второе уравнение и решим полученное уравнение относительно x:

3x - (x - 2)/(2x) = 3 Упростим уравнение, умножив обе части на 2x: 6x^2 - x + 2 = 6x 6x^2 - 7x + 2 = 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения: D = (-7)^2 - 462 = 49 - 48 = 1 x1 = (7 + √1)/12 x1 = 1 x2 = (7 - √1)/12 x2 = 2/3

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные x обратно в уравнение 1/y = (x - 2)/(2x): При x = 1: 1/y = (1 - 2)/(21) = -1/2 => y = -2 При x = 2/3: 1/y = (2/3 - 2)/(22/3) = -4/3 => y = -3/4

Итак, получаем два решения системы уравнений: 1) x = 1, y = -2 2) x = 2/3, y = -3/4.

Конечно, давайте решим систему уравнений:

1. (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2})
2. (3x - y = 3)

Начнем с первого уравнения. Чтобы упростить его, умножим обе его стороны на (2xy):

[2xy \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 2xy \cdot \frac{1}{2}]

Это упростится до:

[2y + 2x = xy]

Теперь у нас есть упрощенное уравнение:

[xy = 2x + 2y]

Перейдем ко второму уравнению:

[3x - y = 3]

Решим его относительно (y):

[y = 3x - 3]

Теперь подставим это выражение для (y) в первое уравнение:

[x(3x - 3) = 2x + 2(3x - 3)]

Раскроем скобки и упростим:

[3x^2 - 3x = 2x + 6x - 6]

[3x^2 - 3x = 8x - 6]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

[3x^2 - 3x - 8x + 6 = 0]

Соберем подобные члены:

[3x^2 - 11x + 6 = 0]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):

[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]

В нашем случае, (a = 3), (b = -11), и (c = 6):

[x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}]

[x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}]

[x = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{6}]

[x = \frac{11 \pm 7}{6}]

Теперь у нас есть два возможных значения для (x):

1. (x = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3)
2. (x = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3})

Для каждого из значений (x) найдем соответствующее значение (y):

1. Если (x = 3):

[y = 3x - 3 = 3(3) - 3 = 9 - 3 = 6]

1. Если (x = \frac{2}{3}):

[y = 3x - 3 = 3\left(\frac{2}{3}\right) - 3 = 2 - 3 = -1]

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. (x = 3), (y = 6)
2. (x = \frac{2}{3}), (y = -1)

Проверим оба решения:

1. Для (x = 3) и (y = 6):

[\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{(неверно)}]

1. Для (x = \frac{2}{3}) и (y = -1):

[\frac{1}{\frac{2}{3}} + \frac{1}{-1} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \quad \text{(верно)}]

Следовательно, правильное решение системы:

[x = \frac{2}{3}, \quad y = -1]