Помогите решить 5tgx-6ctgx+7=0

Для решения уравнения ( 5\tan(x) - 6\cot(x) + 7 = 0 ) сначала выразим (\cot(x)) через (\tan(x)):

[ \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} ]

Подставим это в уравнение:

[ 5\tan(x) - 6\left(\frac{1}{\tan(x)}\right) + 7 = 0 ]

Умножим всё уравнение на (\tan(x)) (при условии, что (\tan(x) \neq 0)):

[ 5\tan^2(x) + 7\tan(x) - 6 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу корней:

[ \tan(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где (a = 5), (b = 7), (c = -6):

[ \tan(x) = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6)}}{2 \cdot 5} ]

[ \tan(x) = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 120}}{10} ]

[ \tan(x) = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{10} ]

[ \tan(x) = \frac{-7 \pm 13}{10} ]

Теперь найдем два корня:

1. ( \tan(x) = \frac{6}{10} = 0.6 )
2. ( \tan(x) = \frac{-20}{10} = -2 )

Теперь найдем углы:

1. ( x = \tan^{-1}(0.6) + k\pi ) (где (k) — целое число)
2. ( x = \tan^{-1}(-2) + k\pi )

Это и есть решения уравнения.

Чтобы решить уравнение ( 5\tan(x) - 6\cot(x) + 7 = 0 ), начнём с преобразования выражения. Мы знаем, что ( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} ). Подставим это в уравнение:

[ 5\tan(x) - 6\frac{1}{\tan(x)} + 7 = 0 ]

Обозначим ( y = \tan(x) ). Тогда уравнение преобразуется в:

[ 5y - \frac{6}{y} + 7 = 0 ]

Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на ( y ) (при условии, что ( y \neq 0 )):

[ 5y^2 + 7y - 6 = 0 ]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac ]

где ( a = 5 ), ( b = 7 ), ( c = -6 ):

[ D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 ]

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем значения:

[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 \pm 13}{10} ]

Теперь вычислим два возможных значения для ( y ):

1. ( y_1 = \frac{-7 + 13}{10} = \frac{6}{10} = 0.6 )
2. ( y_2 = \frac{-7 - 13}{10} = \frac{-20}{10} = -2 )

Теперь у нас есть два значения для ( \tan(x) ):

1. ( \tan(x) = 0.6 )
2. ( \tan(x) = -2 )

Теперь найдём ( x ) для каждого из этих значений.

1. Для ( \tan(x) = 0.6 )

( x = \arctan(0.6) ). Значение ( \arctan(0.6) ) можно найти, используя калькулятор:

[ x \approx 0.540 \text{ радиан} \quad (или \approx 30.96^\circ) ]

Так как тангенс имеет период ( \pi ), общее решение будет:

[ x = 0.540 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

2. Для ( \tan(x) = -2 )

( x = \arctan(-2) ). Значение ( \arctan(-2) ) также можно найти с помощью калькулятора:

[ x \approx -1.107 \text{ радиан} \quad (или \approx -63.43^\circ) ]

Опять же, учитывая период тангенса, общее решение:

[ x = -1.107 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Ответ

Таким образом, общее решение уравнения ( 5\tan(x) - 6\cot(x) + 7 = 0 ) будет:

[ x = 0.540 + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) ] [ x = -1.107 + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

Рассмотрим уравнение:

[ 5 \cdot \tan(x) - 6 \cdot \cot(x) + 7 = 0 ]

Шаг 1. Замена (\cot(x)) через (\tan(x))

Мы знаем, что (\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}). Подставим это в уравнение:

[ 5 \cdot \tan(x) - 6 \cdot \frac{1}{\tan(x)} + 7 = 0 ]

Обозначим (\tan(x) = t), где (t \neq 0), так как (\cot(x)) не определено, если (\tan(x) = 0). Перепишем уравнение:

[ 5t - \frac{6}{t} + 7 = 0 ]

Шаг 2. Приведение к общему знаменателю

Умножим всё уравнение на (t) (учитывая, что (t \neq 0)):

[ t(5t) - t \cdot \frac{6}{t} + 7t = 0 ]

[ 5t^2 - 6 + 7t = 0 ]

Шаг 3. Приведение уравнения к стандартной форме

Перепишем уравнение:

[ 5t^2 + 7t - 6 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно (t).

Шаг 4. Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение (5t^2 + 7t - 6 = 0) решим с использованием дискриминанта. Формула для дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac, ]

где (a = 5), (b = 7), (c = -6).

[ D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 ]

Так как (D > 0), уравнение имеет два корня. Формула для корней квадратного уравнения:

[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения:

[ t = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 5} ]

[ t = \frac{-7 \pm 13}{10} ]

Найдём два корня:

1. (t_1 = \frac{-7 + 13}{10} = \frac{6}{10} = 0.6),
2. (t_2 = \frac{-7 - 13}{10} = \frac{-20}{10} = -2).

Шаг 5. Возврат к (\tan(x))

Мы обозначили (\tan(x) = t). Таким образом, получаем два уравнения:

1. (\tan(x) = 0.6),
2. (\tan(x) = -2).

Шаг 6. Решение уравнений

Общий вид решения уравнения (\tan(x) = t) задаётся формулой:

[ x = \arctan(t) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, ]

где (t) — найденное значение.

Для (\tan(x) = 0.6):

[ x = \arctan(0.6) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Численное значение (\arctan(0.6)) (в радианах) приблизительно равно (x \approx 0.5404). Тогда общее решение:

[ x = 0.5404 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Для (\tan(x) = -2):

[ x = \arctan(-2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Численное значение (\arctan(-2)) (в радианах) приблизительно равно (x \approx -1.1071). Тогда общее решение:

[ x = -1.1071 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Итоговое решение

Объединяя оба случая, получаем общее решение уравнения:

[ x = 0.5404 + \pi n \quad \text{или} \quad x = -1.1071 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]