Помогите решить (х-1)^4-2(х-1)^2-3=0
Помогите решить (х-1)^4-2(х-1)^2-3=0
Для решения уравнения ((x-1)^4 - 2(x-1)^2 - 3 = 0) можно ввести подстановку: пусть ( u = (x-1)^2 ). Тогда уравнение принимает вид:
[ u^2 - 2u - 3 = 0. ]
Это квадратное уравнение относительно ( u ). Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения:
[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ).
Подставляя значения, получим:
[ u = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}. ]
Отсюда:
[ u_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, ] [ u_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1. ]
Теперь вернемся к переменной ( x ). Поскольку ( u = (x-1)^2 ), имеем:
( (x-1)^2 = 3 ) [ x-1 = \pm \sqrt{3} ] [ x = 1 \pm \sqrt{3} ]
( (x-1)^2 = -1 ) Это уравнение не имеет реальных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Итак, действительные решения исходного уравнения:
[ x = 1 + \sqrt{3} ] [ x = 1 - \sqrt{3} ]
Это решение применимо только в действительных числах.
Для решения данного уравнения воспользуемся заменой переменной. Обозначим (y = (x - 1)^2). Тогда данное уравнение примет вид: (y^2 - 2y - 3 = 0).
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант: (D = (-2)^2 - 4 1 (-3) = 4 + 12 = 16).
Дискриминант положителен, следовательно, уравнение имеет два корня: (y_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3), (y_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1).
Таким образом, у нас получились два значения для (y): 3 и -1. Подставим их обратно в наше выражение (y = (x - 1)^2): 1) (3 = (x - 1)^2): (x - 1 = \sqrt{3}) или (x - 1 = -\sqrt{3}), (x = 1 + \sqrt{3}) или (x = 1 - \sqrt{3}).
2) (-1 = (x - 1)^2): (x - 1 = \sqrt{-1}) или (x - 1 = -\sqrt{-1}), (x - 1 = i) или (x - 1 = -i), (x = 1 + i) или (x = 1 - i).
Таким образом, уравнение ( (x - 1)^4 - 2(x - 1)^2 - 3 = 0 ) имеет 4 корня: ( x = 1 + \sqrt{3} ), ( x = 1 - \sqrt{3} ), ( x = 1 + i ), ( x = 1 - i ).
Для решения данного уравнения нужно ввести новую переменную y = (х-1)², после чего решить уравнение y² - 2y - 3 = 0. Получим два решения y₁ = -1 и y₂ = 3. Затем подставить обратно в уравнение y = (х-1)² и решить получившиеся уравнения для х.
