Помогите решить систему уравнений методом замены переменных 2(x+y)^2+3(x+2y)=5 3(x+2y)-2x-2y=5

Для решения системы уравнений методом замены переменных, давайте сначала обозначим ( z = x + 2y ). Это упростит уравнения и позволит нам решить систему более эффективно.

Изначальная система:

1. ( 2(x + y)^2 + 3(x + 2y) = 5 )
2. ( 3(x + 2y) - 2x - 2y = 5 )

Подставим ( z = x + 2y ) в оба уравнения.

Во втором уравнении это сразу даст: [ 3z - 2x - 2y = 5 ]

Теперь выразим ( x + 2y ) из этого уравнения: [ 3z - 2(x + 2y) = 5 ] [ 3z - 2z = 2x + 2y ] [ z = 2x + 2y ]

Мы видим, что наше предположение ( z = x + 2y ) не противоречит второму уравнению. Теперь обратимся к первому уравнению.

Подставим ( x + 2y = z ) в первое уравнение: [ 2(x + y)^2 + 3z = 5 ]

Чтобы выразить ( x + y ), используем предположение ( y = \frac{z - x}{2} ) (из ( z = x + 2y )) и заменим в ( x + y ): [ x + y = x + \frac{z - x}{2} = \frac{2x + z - x}{2} = \frac{x + z}{2} ]

Подставим это в первое уравнение: [ 2\left(\frac{x + z}{2}\right)^2 + 3z = 5 ] [ \frac{(x + z)^2}{2} + 3z = 5 ] [ (x + z)^2 + 6z = 10 ]

Это уравнение с двумя переменными. Выразим ( x ) через ( z ) для упрощения. Из второго уравнения, если выразить ( x ) через ( z ) и ( y ): [ x + 2y = z ] [ x = z - 2y ]

Подставим ( x = z - 2y ) в уравнение: [ (z - 2y + z)^2 + 6z = 10 ] [ (2z - 2y)^2 + 6z = 10 ] [ 4(z - y)^2 + 6z = 10 ]

Нам нужно решить эту систему:

1. ( 4(z - y)^2 + 6z = 10 )
2. ( z = x + 2y )

Теперь ищем значения ( z ) и ( y ), чтобы в дальнейшем найти ( x ).

Для простоты решения можно сначала выразить ( y ) через ( z ) из первого уравнения: [ 4(z - y)^2 = 10 - 6z ] [ (z - y)^2 = \frac{10 - 6z}{4} ] [ z - y = \pm \sqrt{\frac{10 - 6z}{4}} ]

Теперь у нас есть два случая:

1. ( z - y = \sqrt{\frac{10 - 6z}{4}} )
2. ( z - y = -\sqrt{\frac{10 - 6z}{4}} )

Рассмотрим оба случая и найдем соответствующие решения для ( x ), ( y ), и ( z ).

Это решение может стать громоздким, но ключевая идея здесь — использовать замену переменных, чтобы свести систему к более простым уравнениям. После нахождения ( z ) и ( y ) подставьте их в ( x = z - 2y ) для нахождения значений ( x ).

Для решения данной системы уравнений методом замены переменных, следует выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим первое уравнение: 2(x+y)^2 + 3(x+2y) = 5 Раскроем скобки: 2(x^2 + 2xy + y^2) + 3x + 6y = 5 Упростим: 2x^2 + 4xy + 2y^2 + 3x + 6y = 5 Приведем подобные члены: 2x^2 + 4xy + 2y^2 + 3x + 6y - 5 = 0

2. Рассмотрим второе уравнение: 3(x+2y) - 2x - 2y = 5 Раскроем скобки: 3x + 6y - 2x - 2y = 5 Упростим: x + 4y - 5 = 0

3. Теперь проведем замену переменных. Пусть x + 4y = t. Тогда система примет вид: 2t^2 + 3t - 5 = 0 t = (-3 ± √(3^2 - 42(-5))) / 4 t = (-3 ± √(9 + 40)) / 4 t = (-3 ± √49) / 4 t1 = (−3 + 7) / 4 = 1 t2 = (−3 - 7) / 4 = -2.5

4. Найдем соответствующие значения переменных x и y:

5. x + 4y = 1 x = 1 - 4y
6. x + 4y = -2.5 x = -2.5 - 4y

Таким образом, решение системы уравнений методом замены переменных: x = 1 - 4y; y - любое число (пусть, например, y = 0) => x = 1 x = -2.5 - 4y; y - любое число (пусть, например, y = 0) => x = -2.5