Помогите решить уравнение 16х квадрат -25 меньше или равно нулю

Для решения уравнения 16x^2 - 25 ≤ 0, сначала найдем корни уравнения равенства 16x^2 - 25 = 0. Для этого нужно решить квадратное уравнение:

16x^2 - 25 = 0 (4x + 5)(4x - 5) = 0 4x + 5 = 0 или 4x - 5 = 0 4x = -5 или 4x = 5 x = -5/4 или x = 5/4

Таким образом, получаем два корня уравнения: x = -5/4 и x = 5/4. Теперь определим интервалы, в которых неравенство 16x^2 - 25 ≤ 0 будет выполняться. Для этого используем метод проверки знаков:

Выберем три точки: x = -2, x = 0 и x = 2. Проверим знак выражения 16x^2 - 25 при подстановке этих значений: Для x = -2: 16(-2)^2 - 25 = 64 - 25 = 39 (положительное число) Для x = 0: 16(0)^2 - 25 = -25 (отрицательное число) Для x = 2: 16(2)^2 - 25 = 64 - 25 = 39 (положительное число)

Итак, неравенство 16x^2 - 25 ≤ 0 выполняется при -5/4 ≤ x ≤ 5/4.

Для решения уравнения (16x^2 - 25 \leq 0) нужно следовать нескольким шагам. Давайте разберем их поэтапно.

1. Запишем уравнение: [16x^2 - 25 \leq 0]

2. Рассмотрим уравнение как квадратный трёхчлен. Чтобы понять, где этот трёхчлен равен нулю, решим уравнение: [16x^2 - 25 = 0]

3. Решим это уравнение. Перенесем 25 в правую часть: [16x^2 = 25]

   Далее, разделим обе части уравнения на 16: [x^2 = \frac{25}{16}]

4. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: [x = \pm \sqrt{\frac{25}{16}} = \pm \frac{5}{4}]

   Таким образом, (x = \frac{5}{4}) и (x = -\frac{5}{4}).

5. Запишем критические точки: (x = \frac{5}{4}) и (x = -\frac{5}{4}). Эти точки делят числовую прямую на три интервала: ( \left( -\infty, -\frac{5}{4} \right) ), ( \left[ -\frac{5}{4}, \frac{5}{4} \right] ) и ( \left( \frac{5}{4}, +\infty \right) ).

6. Проверим знаки выражения (16x^2 - 25) на каждом из интервалов. Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение (16x^2 - 25).

   • Для интервала ( \left( -\infty, -\frac{5}{4} \right) ) возьмем (x = -2): [16(-2)^2 - 25 = 16 \cdot 4 - 25 = 64 - 25 = 39 > 0]

   • Для интервала ( \left[ -\frac{5}{4}, \frac{5}{4} \right] ) возьмем (x = 0): [16(0)^2 - 25 = 0 - 25 = -25 < 0]

   • Для интервала ( \left( \frac{5}{4}, +\infty \right) ) возьмем (x = 2): [16(2)^2 - 25 = 16 \cdot 4 - 25 = 64 - 25 = 39 > 0]

7. Определим знаки на интервалах:

   • На интервале ( \left( -\infty, -\frac{5}{4} \right) ) выражение (16x^2 - 25) положительно.
   • На интервале ( \left[ -\frac{5}{4}, \frac{5}{4} \right] ) выражение (16x^2 - 25) отрицательно или равно нулю.
   • На интервале ( \left( \frac{5}{4}, +\infty \right) ) выражение (16x^2 - 25) положительно.

8. Запишем решение уравнения: Учитывая, что нас интересует (16x^2 - 25 \leq 0), то решением будут те значения (x), для которых (16x^2 - 25) меньше или равно нулю. Это происходит на интервале: [ x \in \left[ -\frac{5}{4}, \frac{5}{4} \right] ]

Итак, решением неравенства (16x^2 - 25 \leq 0) является интервал: [ x \in \left[ -\frac{5}{4}, \frac{5}{4} \right] ]