Помогите с тригонометрическим уравнением sin^2x-2cosx+2=0

Для решения данного тригонометрического уравнения sin^2x - 2cosx + 2 = 0 сначала преобразим его, используя тригонометрические тождества.

Заменим sin^2x на 1 - cos^2x: 1 - cos^2x - 2cosx + 2 = 0

Теперь объединим члены с cosx: -cos^2x - 2cosx + 3 = 0

Далее мы можем решить это уравнение, представив его в виде квадратного уравнения относительно cosx. Для этого заменим cosx на t: -t^2 - 2t + 3 = 0

Решив это квадратное уравнение, найдем корни: t1 = 1 t2 = -3

Теперь заменим обратно t на cosx и решим уравнение: cosx = 1 cosx = -3

Ответ: решение уравнения cosx = 1: x = 0 + 2πn, где n - целое число; решение уравнения cosx = -3: нет решений, так как косинус не может быть больше 1 по модулю.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение ( \sin^2 x - 2 \cos x + 2 = 0 ), воспользуемся основными тригонометрическими тождествами и методами преобразования уравнений. Разложим решение на несколько шагов:

1. Используем тождество: ( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x ). Это тождество поможет нам выразить синус через косинус, чтобы упростить уравнение.

2. Подставим это тождество в исходное уравнение: [ \sin^2 x - 2 \cos x + 2 = 0 \implies (1 - \cos^2 x) - 2 \cos x + 2 = 0 ]

3. Преобразуем выражение: [ 1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2 = 0 \implies -\cos^2 x - 2 \cos x + 3 = 0 ]

4. Умножим на -1 для упрощения: [ \cos^2 x + 2 \cos x - 3 = 0 ]

5. Получили квадратное уравнение относительно ( \cos x ). Обозначим ( \cos x = t ): [ t^2 + 2t - 3 = 0 ]

6. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта ( D ): [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ]

7. Найдем корни уравнения: [ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} ] [ t_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 ] [ t_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 ]

8. Итак, у нас два возможных значения для ( \cos x ): [ \cos x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -3 ]

9. Рассмотрим каждый случай отдельно:

   • Случай 1: ( \cos x = 1 ) [ \cos x = 1 \implies x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

   • Случай 2: ( \cos x = -3 )

     ( \cos x = -3 ) не имеет решений, так как значения косинуса лежат в интервале от -1 до 1 ((-1 \leq \cos x \leq 1)). Поэтому этот случай не рассматривается.

10. Ответ: [ x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Итак, единственное решение исходного уравнения ( \sin^2 x - 2 \cos x + 2 = 0 ) — это множество значений ( x = 2k\pi ), где ( k ) — любое целое число.