Построить график функции f(x)=-x2-6x+3 найдите по графику а) нули функции б) промежутки f(x)>0 f(x)<0 в) промежутки возрастания и убывания функции
Построить график функции f(x)=-x2-6x+3 найдите по графику а) нули функции б) промежутки f(x)>0 f(x)<0 в) промежутки возрастания и убывания функции
Для построения графика функции ( f(x) = -x^2 - 6x + 3 ) и анализа её свойств, выполним следующие шаги:
Функция ( f(x) = -x^2 - 6x + 3 ) является квадратичной и представляет собой параболу. Квадратичная функция имеет вид ( f(x) = ax^2 + bx + c ). В данном случае, ( a = -1 ), ( b = -6 ), ( c = 3 ).
Вершина параболы находится в точке ( x ), которая рассчитывается по формуле: [ x_v = -\frac{b}{2a} ]
Подставим значения: [ x_v = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = \frac{6}{-2} = -3 ]
Теперь найдем значение функции в этой точке, чтобы определить координаты вершины: [ f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) + 3 = -9 + 18 + 3 = 12 ]
Таким образом, вершина параболы находится в точке ((-3, 12)).
Чтобы найти нули функции, решим уравнение ( -x^2 - 6x + 3 = 0 ). Для этого используем дискриминант ( D ): [ D = b^2 - 4ac ] [ D = (-6)^2 - 4(-1)(3) = 36 + 12 = 48 ]
Корни квадратичного уравнения находятся по формуле: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
Подставим значения: [ x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{48}}{2(-1)} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{-2} = -3 \mp 2\sqrt{3} ]
Таким образом, нули функции: [ x_1 = -3 - 2\sqrt{3} ] [ x_2 = -3 + 2\sqrt{3} ]
Парабола открывается вниз (так как ( a < 0 )) и имеет вершину в точке ((-3, 12)). Корни функции находятся в точках (-3 - 2\sqrt{3}) и (-3 + 2\sqrt{3}).
Нули функции ( f(x) = -x^2 - 6x + 3 ) — это точки пересечения графика с осью ( x ): [ x_1 = -3 - 2\sqrt{3} ] [ x_2 = -3 + 2\sqrt{3} ]
( f(x) > 0 ) на интервале между корнями функции: [ (-3 - 2\sqrt{3}, -3 + 2\sqrt{3}) ]
( f(x) < 0 ) на интервалах: [ (-\infty, -3 - 2\sqrt{3}) \cup (-3 + 2\sqrt{3}, \infty) ]
Функция возрастает на промежутке от ( -\infty ) до вершины (левая часть параболы): [ (-\infty, -3) ]
Функция убывает на промежутке от вершины до ( \infty ) (правая часть параболы): [ (-3, \infty) ]
Построив график, можно убедиться в правильности этих выводов.
a) Нули функции: x = -3 + √6, x = -3 - √6 б) Промежутки f(x) > 0: (-∞, -3 - √6) U (-3 + √6, +∞)
Промежутки f(x) < 0: (-3 - √6, -3 + √6)
в) Промежутки возрастания: (-∞, -3 - √6)
Промежутки убывания: (-3 - √6, -3 + √6)
Для построения графика функции f(x)=-x^2-6x+3 сначала найдем ее нули, то есть точки, в которых функция пересекает ось x (f(x) = 0).
Для этого решим уравнение -x^2-6x+3=0. Сначала приведем уравнение к стандартному виду: x^2+6x-3=0. Далее используем квадратное уравнение или графический метод для нахождения корней.
После того, как найдены нули функции, мы можем определить промежутки, на которых функция f(x) > 0 и f(x) < 0. Для этого можно проверить знак функции в точках между нулями и за пределами нулей.
Далее определим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого нужно вычислить производную функции f'(x)=-2x-6 и найти ее нули. В точках, где производная равна нулю, функция имеет экстремумы (максимумы или минимумы). После нахождения точек экстремумов можно определить промежутки возрастания и убывания функции, проверяя знак производной на этих промежутках.
Таким образом, анализируя график функции f(x)=-x^2-6x+3, мы можем найти нули функции, определить промежутки, на которых функция положительна или отрицательна, а также найти промежутки возрастания и убывания функции.
