Построить график, иследовать функцию на монотонность и экстремумы y=x^5-5x

Для того чтобы исследовать функцию ( y = x^5 - 5x ) на монотонность и экстремумы, а также построить её график, мы пройдём через несколько шагов:

1. Нахождение производной функции

Первый шаг — найти первую производную функции, чтобы исследовать её на монотонность и определить критические точки.

[ y' = \frac{d}{dx}(x^5 - 5x) = 5x^4 - 5 ]

2. Нахождение критических точек

Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не определена. В данном случае, производная определена для всех ( x ), поэтому решаем уравнение:

[ 5x^4 - 5 = 0 ]

Упростим это уравнение:

[ x^4 = 1 ]

Таким образом, находим корни:

[ x = \pm 1 ]

3. Исследование на монотонность

Теперь определим интервалы монотонности, анализируя знак производной ( y' ):

• Для ( x \in (-\infty, -1) ), выберем тестовую точку, например, ( x = -2 ): [ y'(-2) = 5(-2)^4 - 5 = 80 - 5 = 75 > 0 ] Таким образом, функция возрастает на этом интервале.

• Для ( x \in (-1, 1) ), выберем тестовую точку, например, ( x = 0 ): [ y'(0) = 5(0)^4 - 5 = -5 < 0 ] Таким образом, функция убывает на этом интервале.

• Для ( x \in (1, \infty) ), выберем тестовую точку, например, ( x = 2 ): [ y'(2) = 5(2)^4 - 5 = 80 - 5 = 75 > 0 ] Таким образом, функция возрастает на этом интервале.

4. Нахождение экстремумов

Из анализа монотонности видно, что:

• В точке ( x = -1 ) функция переходит от возрастания к убыванию. Следовательно, она имеет локальный максимум.
• В точке ( x = 1 ) функция переходит от убывания к возрастанию. Следовательно, она имеет локальный минимум.

5. Вычисление значений функции в критических точках

• ( y(-1) = (-1)^5 - 5(-1) = -1 + 5 = 4 )
• ( y(1) = 1^5 - 5(1) = 1 - 5 = -4 )

6. Построение графика

График функции ( y = x^5 - 5x ) имеет следующие свойства:

• Локальный максимум в точке ((-1, 4)).
• Локальный минимум в точке ((1, -4)).
• Функция возрастает на интервалах ((-\infty, -1)) и ((1, \infty)).
• Функция убывает на интервале ((-1, 1)).

График будет иметь характерную форму с двумя экстремальными точками — максимум и минимум. Для более точного построения можно взять дополнительные точки и исследовать поведение функции на границах её возрастания и убывания.

Для того чтобы построить график функции y=x^5-5x, необходимо сначала нарисовать координатную плоскость с осями x и y. Далее, используя полученное выражение функции, подставим различные значения x и найдем соответствующие значения y. Построим точки на графике и соединим их гладкой кривой.

Исследуем функцию на монотонность. Для этого найдем производную функции y=x^5-5x: y' = 5x^4 - 5

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: 5x^4 - 5 = 0 5x^4 = 5 x^4 = 1 x = ±1

Таким образом, точки x = -1 и x = 1 являются критическими точками функции. Для исследования на монотонность можно построить знаки производной на интервалах (-∞, -1), (-1, 1) и (1, +∞).

Теперь найдем экстремумы функции. Для этого можно использовать метод второй производной. Найдем вторую производную: y'' = 20x^3

Подставим критические точки x = -1 и x = 1 во вторую производную: y''(-1) = 20(-1)^3 = -20 y''(1) = 201^3 = 20

Знаки второй производной показывают, что x = -1 является точкой максимума, а x = 1 - точкой минимума.

Таким образом, построив график функции y=x^5-5x, исследовав её на монотонность и найдя экстремумы, мы получим полное представление о поведении данной функции.