Построить график y=tg x/2. Подробно и если можно, то от руки.

Чтобы построить график функции y=tg(x/2), нужно следовать следующим шагам:

1. Определить область определения функции. Тангенс имеет асимптоты при x = (π/2) + πk, где k - целое число. Поэтому область определения функции y=tg(x/2) будет состоять из всех x, кроме значений (π + 2πk), где k - целое число.

2. Найти точки пересечения с осями координат. Для этого решим уравнение tg(x/2) = 0. Получим x/2 = 0 + πk, откуда x = 2πk.

3. Найдем точки пересечения с асимптотами. Это точки, где tg(x/2) стремится к бесконечности. Такие точки будут при x = (π/2) + πk, где k - целое число.

4. Построим график функции, учитывая найденные точки и область определения. График будет иметь асимптоты при x = (π/2) + πk, а точки пересечения с осями координат будут при x = 2πk.

5. Продолжим график функции в область определения, обращая внимание на периодичность функции и ее свойства.

Таким образом, следуя этим шагам и учитывая особенности функции y=tg(x/2), можно построить график данной функции от руки.

Для построения графика функции ( y = \tan\left(\frac{x}{2}\right) ), следуем следующим шагам:

1. Анализ функции

Определение

Функция ( y = \tan\left(\frac{x}{2}\right) ) является тангенциальной функцией, аргумент которой уменьшен в 2 раза по сравнению с классической функцией ( y = \tan(x) ).

Область определения

Тангенс не определен в точках, где аргумент функции равен ( \frac{\pi}{2} + k\pi ) для любого целого числа ( k ). В нашем случае, аргументом является ( \frac{x}{2} ), поэтому: [ \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x \neq \pi + 2k\pi. ]

Таким образом, функция не определена при ( x = \pi + 2k\pi ).

Периодичность

Период функции ( \tan(x) ) равен ( \pi ). Учитывая, что аргумент у нас ( \frac{x}{2} ), период исходной функции увеличится в 2 раза: [ T = 2\pi. ]

2. Построение графика

Разбивка по периодам

Для удобства построения графика рассмотрим промежуток от ( -2\pi ) до ( 2\pi ), который содержит два полных периода функции.

Асимптоты

Находим асимптоты в каждом периоде: [ x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \pi, 3\pi, -\pi, -3\pi. ]

Ключевые точки внутри периода

Рассмотрим промежуток (-\pi \leq x < \pi):

• При ( x = 0 ): [ y = \tan(0) = 0. ]
• При ( x = \pm \frac{\pi}{2} ): [ y = \tan\left(\frac{\pm \pi}{4}\right) = \pm 1. ]

3. Рисуем график

1. Начинаем с отрезка (-\pi \leq x < \pi). В этой области функция ( y = \tan\left(\frac{x}{2}\right) ) ведет себя аналогично ( y = \tan(x) ) в интервале (-\frac{\pi}{2} \leq x < \frac{\pi}{2} ), но с более широкими интервалами.
2. Проведем вертикальные асимптоты в точках ( x = \pm \pi ).
3. Наносим ключевые точки: ( (0, 0) ), ( \left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) ), ( \left( -\frac{\pi}{2}, -1 \right) ).
4. Отметим, что график проходит через точку ( (0, 0) ) и приближается к асимптотам в точках ( x = \pm \pi ).

Для следующего периода (от (\pi) до (3\pi)) и предыдущего (от (-3\pi) до (-\pi)), график повторяет аналогичную форму.

Пример графика (рисунок)

1. Отметьте оси координат.
2. Проведите вертикальные линии (асимптоты) в точках ( x = \pm \pi ), ( x = \pm 3\pi ).
3. Нанесите ключевые точки:
   • ( (0, 0) ),
   • ( \left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) ),
   • ( \left( -\frac{\pi}{2}, -1 \right) ).
4. Нарисуйте кривую ( y = \tan\left(\frac{x}{2}\right) ), которая идет от одной асимптоты к другой, проходя через ключевые точки.

Таким образом, у вас получится график функции ( y = \tan\left(\frac{x}{2}\right) ) с учётом всех особенностей.

Если бы я мог представить рисунок от руки, он бы выглядел следующим образом:

 y
 ^
 |          /|          /|
 |         / |         / |
 |        /  |        /  |
 |       /   |       /   |
 |      /    |      /    |
 |     /     |     /     |
 |    /      |    /      |
 |   /       |   /       |
 |  /        |  /        |
 | /         | /         |
 |/          |/          |
-----------------------------> x

Этот рисунок схематично показывает, как график ( y = \tan\left(\frac{x}{2}\right) ) выглядит, проходя через ключевые точки и приближаясь к асимптотам каждые ( \pi ) единиц по оси ( x ).

График функции y = tg(x/2) представляет собой периодическую функцию, которая имеет асимптоты в точках x = (π/2) + πk, где k - целое число. Также функция не определена при x = (π/2) + πk.

Чтобы построить график, можно использовать следующие шаги:

1. Найдите асимптоты функции, используя формулу x = (π/2) + πk.
2. Определите основные точки функции, например, x = 0, π/2, π, 3π/2 и т.д.
3. Постройте график, соединяя найденные точки и учитывая асимптоты.

Также можно использовать программы для построения графиков, такие как GeoGebra или Desmos, чтобы быстро и точно построить график функции y = tg(x/2).