Построить схематически график функции y=2 в степени -x

Для построения графика функции y = 2^(-x) можно использовать следующий подход:

1. Найдем точку пересечения с осью y, подставив x = 0 в уравнение функции: y = 2^0 = 1. То есть точка (0, 1) будет лежать на графике.

2. Рассмотрим поведение функции при стремлении x к бесконечности и минус бесконечности. При x -> +∞ функция стремится к 0, а при x -> -∞ функция стремится к бесконечности.

3. Применим логарифмирование к функции, чтобы получить эквивалентное уравнение: ln(y) = -xln(2). Теперь мы можем построить график функции ln(y) = -xln(2), который будет представлять собой прямую с наклоном -ln(2).

4. После построения графика функции ln(y) = -x*ln(2), можно восстановить исходный график функции y = 2^(-x) с помощью обратного преобразования экспоненты.

Таким образом, график функции y = 2^(-x) будет иметь вид экспоненциальной кривой, проходящей через точку (0, 1) и стремящейся к 0 при x -> +∞ и к бесконечности при x -> -∞.

Чтобы построить график функции ( y = 2^{-x} ), нужно учесть несколько важных моментов, касающихся свойств и поведения этой функции.

Свойства функции

1. Область определения: Функция ( y = 2^{-x} ) определена для всех вещественных чисел ( x ).

2. Область значений: Поскольку ( 2^{-x} ) всегда положительно, область значений функции — это множество положительных чисел ( y > 0 ).

3. Асимптоты: Горизонтальная асимптота — прямая ( y = 0 ). По мере увеличения ( x ), значение ( y ) стремится к нулю, но никогда его не достигает.

4. Пересечение с осями:

   • С осью ( y ) функция пересекается в точке ( (0, 1) ), так как ( 2^{-0} = 1 ).
   • Пересечения с осью ( x ) нет, так как функция никогда не достигает значения ( y = 0 ).

5. Поведение функции: Функция убывает, поскольку ( 2^{-x} = \frac{1}{2^x} ), и при увеличении ( x ) знаменатель дроби растет, уменьшая значение функции.

Построение графика

1. Таблица значений: Вычислим несколько значений функции для разных ( x ):

   • ( x = -2 ), ( y = 2^{2} = 4 )
   • ( x = -1 ), ( y = 2^{1} = 2 )
   • ( x = 0 ), ( y = 2^{0} = 1 )
   • ( x = 1 ), ( y = 2^{-1} = 0.5 )
   • ( x = 2 ), ( y = 2^{-2} = 0.25 )

2. Схематическое построение:

   • Начинаем с точки ( (0, 1) ) на оси Y.
   • Строим точки ( (-2, 4) ), ( (-1, 2) ), ( (1, 0.5) ), ( (2, 0.25) ).
   • Соединяем точки плавной кривой, которая убывает слева направо и приближается к оси X, не касаясь её.

3. Форма графика: График имеет форму, характерную для экспоненциального убывания, начиная с больших значений на отрицательной части оси X и стремясь к нулю на положительной части.

Заключение

График функции ( y = 2^{-x} ) представляет собой убывающую экспоненциальную кривую, которая приближается к горизонтальной асимптоте ( y = 0 ). Это отражает основное свойство экспоненциального убывания: при увеличении значения переменной ( x ) значение функции уменьшается.

График функции y=2^(-x) представляет собой гиперболу, которая стремится к нулю по мере увеличения x.