Постройте график функции и перечислите ее свойства: y=-4/x

График функции ( y = -\frac{4}{x} ) представляет собой гиперболу. Для построения и анализа свойств этой функции проведем следующие шаги:

1. Область определения и область значений

• Область определения: ( x \neq 0 ). Функция не определена в точке ( x = 0 ), так как на ноль делить нельзя.
• Область значений: ( y ) принимает любые значения кроме 0.

2. Асимптоты

• Вертикальная асимптота: ( x = 0 ). При приближении ( x ) к нулю справа или слева, значение ( y ) стремится к бесконечности (вверх или вниз).
• Горизонтальная асимптота: отсутствует, но есть наклонная асимптота ( y = 0 ), к которой функция стремится при ( x ) стремящемся к бесконечности или минус бесконечности.

3. Интервалы возрастания и убывания

• Возрастание: функция возрастает на интервале ( x \in (-\infty, 0) ).
• Убывание: функция убывает на интервале ( x \in (0, +\infty) ).

4. Четность, нечетность, периодичность

• Нечетность: функция нечетная, так как ( f(-x) = -f(x) ). Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.
• Периодичность: функция не является периодической.

5. Точки пересечения с осями координат

• Ось ( y ): нет точек пересечения, так как ( y ) не равен нулю при любом ( x ).
• Ось ( x ): нет точек пересечения, так как ( x ) не равен нулю при любом ( y ).

6. Примеры значений

• ( y(-1) = 4 )
• ( y(-2) = 2 )
• ( y(1) = -4 )
• ( y(2) = -2 )

7. Построение графика

Для наглядности график можно начертить следующим образом:

• Отметьте асимптоты (вертикальную и наклонную) пунктирными линиями.
• Постройте ветви гиперболы в первом и третьем квадрантах, придерживаясь свойств функции в различных интервалах и приближаясь к асимптотам.

Таким образом, график функции ( y = -\frac{4}{x} ) представляет собой две ветви гиперболы, каждая из которых находится в своем квадранте (I и III), и имеет вертикальную асимптоту по оси ( x ) и наклонную асимптоту по оси ( y ).

График функции y = -4/x представляет собой гиперболу, которая проходит через начало координат.

Свойства функции:

1. Область определения: x ≠ 0, так как нельзя делить на ноль.
2. Область значений: y ≠ 0, так как при x = 0 y не определено.
3. Функция является четной, так как удовлетворяет условию f(-x) = f(x).
4. Функция асимптотична к осям координат: вертикальная асимптота x = 0 и горизонтальная асимптота y = 0.
5. График функции симметричен относительно обеих осей координат.
6. Функция убывает при увеличении x и при уменьшении x.
7. На графике функции есть точка экстремума (0, -4), где функция достигает своего минимального значения.

Таким образом, функция y = -4/x имеет ряд интересных свойств, которые можно наблюдать на ее графике.