Постройте график функции у = 0,5 cos x – 2. При каких значениях х функция возрастает? Убывает?

Для построения графика функции y = 0,5 cos x - 2 необходимо использовать знания о графике функции косинуса и добавить к этому графику сдвиг вниз на 2 единицы.

Функция y = 0,5 cos x - 2 имеет период, равный 2π (так как у косинуса период равен 2π), а амплитуда равна 0,5. Таким образом, график будет колебаться между значениями -2,5 и -1,5.

Функция возрастает в тех точках, где её производная положительна. Производная функции y = 0,5 cos x - 2 равна -0,5 sin x. Так как sin x изменяется от -1 до 1, то производная функции будет отрицательной на интервалах, где sin x > 0, то есть на интервалах от π до 2π и от 0 до π. Следовательно, функция возрастает на указанных интервалах.

Функция убывает в тех точках, где её производная отрицательна. Как было показано выше, производная функции отрицательна на интервалах от 0 до π и от π до 2π, следовательно, функция убывает на этих интервалах.

Для построения графика функции ( y = 0.5 \cos x - 2 ) и анализа её поведения, необходимо рассмотреть несколько ключевых аспектов функции косинуса и её преобразований.

Шаг 1: Исследование базовой функции ( \cos x )

Функция ( \cos x ) является периодической функцией с периодом ( 2\pi ). Она принимает значения в диапазоне от -1 до 1 и имеет следующие свойства:

• Максимум: ( \cos x = 1 ) при ( x = 2k\pi ) (где ( k ) — целое число).
• Минимум: ( \cos x = -1 ) при ( x = (2k + 1)\pi ).

Шаг 2: Множитель и вертикальный сдвиг

Функция ( y = 0.5 \cos x ) является результатом умножения функции ( \cos x ) на 0.5, что сжимает её амплитуду в два раза. Теперь её значения колеблются в диапазоне от -0.5 до 0.5.

При добавлении сдвига на -2, мы получаем: [ y = 0.5 \cos x - 2 ] Этот вертикальный сдвиг опускает весь график на 2 единицы вниз. Теперь значения функции колеблются от -2.5 до -1.5.

Шаг 3: Построение графика

1. Найдите значения функции в ключевых точках:

   • При ( x = 0 ), ( y = 0.5 \cdot 1 - 2 = -1.5 ).
   • При ( x = \pi ), ( y = 0.5 \cdot (-1) - 2 = -2.5 ).
   • При ( x = 2\pi ), ( y = 0.5 \cdot 1 - 2 = -1.5 ).

2. Периодичность: График повторяется каждые ( 2\pi ) единицы.

Шаг 4: Определение промежутков возрастания и убывания

Функция ( \cos x ) убывает на интервале ( (0, \pi) ) и возрастает на интервале ( (\pi, 2\pi) ). Этот же принцип сохраняется для функции ( y = 0.5 \cos x - 2 ), поскольку умножение на положительное число и вертикальный сдвиг не изменяют интервалы возрастания и убывания, а лишь смещают значения функции.

Итог

• Функция возрастает на интервалах ( (2k\pi + \pi, 2(k+1)\pi) ), где ( k ) — целое число. Проще говоря, функция возрастает на интервалах ( (\pi, 2\pi) ), ( (3\pi, 4\pi) ), ( (5\pi, 6\pi) ) и так далее.
• Функция убывает на интервалах ( (2k\pi, 2k\pi + \pi) ), где ( k ) — целое число. То есть, функция убывает на интервалах ( (0, \pi) ), ( (2\pi, 3\pi) ), ( (4\pi, 5\pi) ) и так далее.

Заключение

Для построения графика функции ( y = 0.5 \cos x - 2 ), нужно учесть амплитуду, сдвиг и периодичность базовой функции ( \cos x ). Интервалы возрастания и убывания остаются определёнными свойствами функции косинуса, которые переносятся на преобразованную функцию.