Постройте график функции у=-2х^2+4х+6. С помощью графика определите: 1)Значение функции при х=-2,0,3;...

Для построения графика функции у=-2х^2+4х+6 мы должны использовать координатную плоскость. График этой квадратичной функции будет параболой, которая будет открыта вниз.

1) Значение функции при х=-2,0,3:

• При х=-2: у=-2(-2)^2+4(-2)+6 = -2*4-8+6 = -8-8+6 = -10
• При х=0: у=-20^2+40+6 = 0+0+6 = 6
• При х=3: у=-23^2+43+6 = -2*9+12+6 = -18+12+6 = 0

2) Значение аргумента если у= -10, 6, 0:

• Когда у=-10: -2х^2+4х+6 = -10. Это уравнение квадратное и его можно решить, найдя корни уравнения.
• Когда у=6: -2х^2+4х+6 = 6
• Когда у=0: -2х^2+4х+6 = 0

3) Наибольшее значение функции: Наибольшее значение функции будет на вершине параболы, которое находится по формуле x=(-b)/(2a). В данном случае, a=-2, b=4. Подставив их в формулу, найдем x=-4/(2(-2)) = -4/-4 = 1. Теперь найдем значение функции при x=1: у=-21^2+4*1+6 = -2+4+6 = 8

4) Промежутки возрастания и убывания функции: Функция убывает на интервале от минус бесконечности до x=1 и возрастает на интервале от x=1 до плюс бесконечности.

5) Значения аргумента, при которых у больше 0, у меньше 0: Функция у больше 0 на интервалах от минус бесконечности до x≈0.58 и от x≈1.42 до плюс бесконечности. Функция у меньше 0 на интервале от x≈0.58 до x≈1.42.

Для построения графика функции ( y = -2x^2 + 4x + 6 ) и анализа его свойств, начнем с определения основных характеристик функции:

Вид функции

Функция ( y = -2x^2 + 4x + 6 ) является квадратичной функцией, графиком которой является парабола. Коэффициент при ( x^2 ) отрицательный (( -2 )), что означает, что ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы

Координаты вершины параболы находятся по формулам: [ x_0 = -\frac{b}{2a} ] [ y_0 = -2x_0^2 + 4x_0 + 6 ]

Подставляя значения: [ x_0 = -\frac{4}{2 \times -2} = 1 ] [ y_0 = -2 \times 1^2 + 4 \times 1 + 6 = 8 ]

Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, 8).

Пересечение с осями координат

• Ось Y: когда ( x = 0 ), ( y = -2 \times 0^2 + 4 \times 0 + 6 = 6 ). Точка пересечения с осью Y: (0, 6).
• Ось X: решим уравнение ( -2x^2 + 4x + 6 = 0 ) через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times -2 \times 6 = 16 + 48 = 64 ] [ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 8}{-4} = -1 ] [ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 8}{-4} = 3 ]

Таким образом, точки пересечения с осью X: (-1, 0) и (3, 0).

1) Значение функции при ( x = -2, 0, 3 )

[ y(-2) = -2(-2)^2 + 4(-2) + 6 = -8 - 8 + 6 = -10 ] [ y(0) = 6 ] (уже вычислено выше) [ y(3) = -2(3)^2 + 4(3) + 6 = -18 + 12 + 6 = 0 ] (точка пересечения с осью X)

2) Значение аргумента при ( y = -10, 6, 0 )

• ( y = -10 ) при ( x = -2 ) (уже найдено выше).
• ( y = 6 ) при ( x = 0 ) (уже найдено выше).
• ( y = 0 ) при ( x = -1 ) и ( x = 3 ) (уже найдено выше).

3) Наибольшее значение функции

Наибольшее значение функции находится в вершине параболы, ( y = 8 ) при ( x = 1 ).

4) Промежутки возрастания и убывания

• Возрастает на промежутке ( (-\infty, 1) ).
• Убывает на промежутке ( (1, +\infty) ).

5) Значения аргумента, при которых ( y > 0 ) и ( y < 0 )

• ( y > 0 ) при ( x \in (-1, 3) ) (между корнями уравнения).
• ( y < 0 ) при ( x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) ) (вне этого интервала).

Эти анализы помогают понять поведение функции и её графика.