Постройте график функции у= -х2+6х-8. Найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке...

а) Наименьшее значение функции на отрезке [2;5] - y=-2, наибольшее значение функции - y=7.

б) Функция возрастает на промежутке (-бесконечность; 3) и убывает на промежутке (3; +бесконечность).

Для начала рассмотрим функцию ( y = -x^2 + 6x - 8 ). Это квадратичная функция, график которой представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный.

Построение графика:

1. Вершина параболы: Формулы для нахождения координат вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) имеют вид: [ x = -\frac{b}{2a} ] [ y = c - \frac{b^2}{4a} ] Подставляя ( a = -1 ), ( b = 6 ), ( c = -8 ), получаем: [ x = -\frac{6}{-2} = 3 ] [ y = -8 - \frac{6^2}{-4} = -8 + 9 = 1 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (3, 1) ).

2. Ось симметрии: Ось симметрии проходит через вершину, её уравнение ( x = 3 ).

3. Точки пересечения с осями координат: ( y )-пересечение (при ( x = 0 )): [ y = -0^2 + 6 \cdot 0 - 8 = -8 ] ( x )-пересечения (решим уравнение ( -x^2 + 6x - 8 = 0 )): [ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8)}}{-2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{-2} = \frac{-6 \pm 2}{-2} ] [ x_1 = 4, \quad x_2 = 2 ]

а) Наименьшее и наибольшее значения на отрезке [2; 5]:

На отрезке [2; 5] вершина параболы ( (3, 1) ) является наибольшим значением, так как ветви параболы направлены вниз. Проверим значения на концах отрезка:

• При ( x = 2 ), ( y = -2^2 + 6 \cdot 2 - 8 = -4 + 12 - 8 = 0 )
• При ( x = 5 ), ( y = -5^2 + 6 \cdot 5 - 8 = -25 + 30 - 8 = -3 )

Наименьшее значение ( y = -3 ) при ( x = 5 ) и наибольшее значение ( y = 1 ) при ( x = 3 ).

б) Промежутки возрастания и убывания:

• Промежутки возрастания: до вершины параболы, то есть от (-\infty) до ( x = 3 ).
• Промежутки убывания: после вершины параболы, то есть от ( x = 3 ) до ( +\infty ).

Таким образом, мы полностью анализировали данную квадратичную функцию и ответили на поставленные вопросы.

Для построения графика функции у= -х^2+6х-8 сначала найдем вершину параболы, которая задает данную функцию. Вершина параболы находится по формуле x = -b/2a, где a = -1, b = 6. Подставляем значения и находим x = -6/(-2) = 3. Теперь подставляем x = 3 обратно в у= -х^2+6х-8 и находим y = -3^2+6*3-8 = 1. Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, 1).

Теперь построим график функции у= -х^2+6х-8. График будет параболой, которая направлена вниз и проходит через точку (3, 1).

а) Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [2;5] можно найти подставив значения x=2 и x=5 в функцию у= -х^2+6х-8. При x=2: y = -2^2+62-8 = -4+12-8 = 0; При x=5: y = -5^2+65-8 = -25+30-8 = -3. Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [2;5] равно 0, а наибольшее значение равно -3.

б) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, найдем производную функции у= -х^2+6х-8. Производная равна -2x+6. Производная равна 0 при x=3. Это означает, что функция убывает на интервале (-бесконечность; 3) и возрастает на интервале (3; +бесконечность).