Постройте график функции у=x2-4х+4 и опишите по свойствам ( область определения, множество значений...

Давайте рассмотрим функцию ( y = x^2 - 4x + 4 ) и разберем её по свойствам.

Построение графика

Функция ( y = x^2 - 4x + 4 ) представляет собой квадратную функцию, которая является параболой. Чтобы построить график, можно воспользоваться несколькими методами, включая нахождение вершины параболы, оси симметрии и построение нескольких точек, например, через таблицу значений.

1. Форма и направление параболы:

   • Коэффициент при ( x^2 ) равен 1, что больше нуля, следовательно, парабола имеет ветви, направленные вверх.

2. Вершина параболы:

   • Стандартная форма квадратного уравнения: ( y = ax^2 + bx + c ).
   • Вершина параболы находится по формуле ( x = -\frac{b}{2a} ).
   • В данном случае ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = 4 ).
   • ( x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 ).
   • Подставляем ( x = 2 ) в уравнение, чтобы найти ( y )-координату вершины: [ y = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 ]
   • Вершина параболы: ( (2, 0) ).

3. Ось симметрии:

   • Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину. В данном случае это прямая ( x = 2 ).

4. Дополнительные точки:

   • Можно подставить несколько значений ( x ) в функцию для построения точек:
     • ( x = 0 ): ( y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 4 = 4 ).
     • ( x = 1 ): ( y = 1^2 - 4 \cdot 1 + 4 = 1 ).
     • ( x = 3 ): ( y = 3^2 - 4 \cdot 3 + 4 = 1 ).
     • ( x = 4 ): ( y = 4^2 - 4 \cdot 4 + 4 = 4 ).

График будет симметричен относительно оси ( x = 2 ) и пройдет через указанные точки.

Свойства функции

1. Область определения:

   • Квадратные функции определены для всех вещественных чисел, поэтому область определения — это все ( x \in \mathbb{R} ).

2. Множество значений:

   • Поскольку парабола открыта вверх и её вершина находится в точке ( (2, 0) ), минимальное значение функции — это 0, достигаемое в вершине параболы.
   • Следовательно, множество значений функции ( y ) — это промежуток ( [0, +\infty) ).

3. Пересечения с осями:

   • Пересечение с осью ( y ): при ( x = 0 ), ( y = 4 ). Таким образом, точка пересечения с осью ( y ) — это ( (0, 4) ).
   • Пересечение с осью ( x ): при ( y = 0 ), решая уравнение ( x^2 - 4x + 4 = 0 ), находим, что ( (x - 2)^2 = 0 ), следовательно, ( x = 2 ). Единственная точка пересечения с осью ( x ) — это вершина ( (2, 0) ).

4. Поведением на границах:

   • При ( x \to \pm\infty ), ( y \to +\infty ).

5. Периодичность и симметрия:

   • Функция не является периодической.
   • Парабола симметрична относительно оси ( x = 2 ).

Таким образом, график функции представляет собой параболу с вершиной в точке ( (2, 0) ), осью симметрии ( x = 2 ), и множество её значений составляет ( [0, +\infty) ).

Для построения графика функции у = x^2 - 4x + 4 сначала определим область определения и множество значений.

1. Область определения: Функция у = x^2 - 4x + 4 определена для всех действительных чисел x, так как квадратный трехчлен имеет значение для любого x.

2. Множество значений: Для нахождения множества значений функции у = x^2 - 4x + 4 найдем вершину параболы. Для этого воспользуемся формулой вершины параболы x = -b/2a. В данном случае a = 1, b = -4, поэтому x = -(-4)/(21) = 2. Подставим x = 2 в исходное уравнение: у = 2^2 - 42 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0. Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 0).

Так как у = x^2 - 4x + 4 представляет собой параболу, направленную вверх, то множество значений функции - все действительные числа больше или равные 0.

Построим график функции у = x^2 - 4x + 4:

• Вершина параболы (2, 0)
• Парабола открывается вверх
• Проходит через точку (0, 4)
• Проходит через точку (4, 0)

Таким образом, график функции у = x^2 - 4x + 4 представляет собой параболу, направленную вверх, с вершиной в точке (2, 0).