Постройте график функции у= x^2 -8x +13. найдите с помощью графика : а) значение у при х = 1,5 б) значение...

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов, связанных как с построением графика квадратичной функции, так и с анализом её свойств.

Построение графика функции

Функция ( y = x^2 - 8x + 13 ) представляет собой квадратичную функцию, которую можно записать в виде ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = 1 ), ( b = -8 ), ( c = 13 ). Графиком такой функции является парабола.

Вершина параболы

Вершина параболы находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). Подставим значения ( a ) и ( b ):

[ x = -\frac{-8}{2 \times 1} = 4 ]

Теперь найдем значение ( y ) в вершине:

[ y = 4^2 - 8 \times 4 + 13 = 16 - 32 + 13 = -3 ]

Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (4, -3) ).

Построение параболы

Парабола имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент ( a = 1 ) положителен.

Решение заданий

а) Значение ( y ) при ( x = 1.5 )

Подставим ( x = 1.5 ) в уравнение функции:

[ y = (1.5)^2 - 8 \times 1.5 + 13 = 2.25 - 12 + 13 = 3.25 ]

Значение ( y ) при ( x = 1.5 ) равно ( 3.25 ).

б) Значение ( x ) при ( y = 2 )

Решим уравнение:

[ x^2 - 8x + 13 = 2 ]

Перепишем его как:

[ x^2 - 8x + 11 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 11 = 64 - 44 = 20 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 4 \pm \sqrt{5} ]

Значения ( x ) при ( y = 2 ) равны ( 4 + \sqrt{5} ) и ( 4 - \sqrt{5} ).

в) Нули функции; промежутки, в которых ( y > 0 ) и ( y < 0 )

Нули функции находятся при ( y = 0 ):

[ x^2 - 8x + 13 = 0 ]

Решение этого уравнения уже рассматривалось: дискриминант ( D = 8^2 - 4 \times 1 \times 13 = 64 - 52 = 12 ).

Корни:

[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 4 \pm \sqrt{3} ]

Таким образом, нули функции: ( x = 4 + \sqrt{3} ) и ( x = 4 - \sqrt{3} ).

Промежутки:

• ( y > 0 ) при ( x < 4 - \sqrt{3} ) или ( x > 4 + \sqrt{3} )
• ( y < 0 ) при ( 4 - \sqrt{3} < x < 4 + \sqrt{3} )

г) Промежуток, в котором функция убывает

Функция убывает на интервале от (-\infty) до вершины параболы, то есть от (-\infty) до ( x = 4 ).

Итог

Мы построили и проанализировали график функции ( y = x^2 - 8x + 13 ), нашли значения функции при заданных ( x ) и ( y ), определили нули функции, а также промежутки возрастания и убывания.

Для построения графика функции у= x^2 - 8x + 13 сначала найдем вершину параболы, которая задается уравнением х = -b/2a. В данном случае a=1, b=-8, поэтому х = 8/(21) = 4. Теперь найдем значение у при х = 1,5: у = (1,5)^2 - 81,5 + 13 = 2,25 - 12 + 13 = 3,25.

а) Значение у при х = 1,5 равно 3,25. б) Чтобы найти значение х при у = 2, необходимо решить квадратное уравнение: 2 = x^2 - 8x + 13. Получаем x^2 - 8x + 11 = 0. Решив это уравнение, получаем два корня: x1 ≈ 1,59 и x2 ≈ 6,41. в) Нули функции - это значения x, при которых у = 0. Решив уравнение x^2 - 8x + 13 = 0, получаем два корня: x1 ≈ 2 и x2 ≈ 6. Промежутки, в которых у > 0: (2; 6) Промежутки, в которых у < 0: (-∞; 2) ∪ (6; +∞) г) Функция убывает на интервале (-∞; 4).