Постройте график функции y=-(x+1)(в квадрате) + 4 Используя его найдите: 1)нули функции 2)промеждутки...

Для построения графика функции y=-(x+1)^2 + 4 необходимо выполнить следующие шаги:

1) Нули функции: чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение -(x+1)^2 + 4 = 0. Решив его, мы получим x = -1. Значит, у функции есть одна нулевая точка при x = -1.

2) Промежутки возрастания и убывания: для этого найдем точку экстремума функции. Для этого возьмем производную функции y=-(x+1)^2 + 4: y' = -2(x+1). Приравняв производную к нулю, получим x = -1. Это значит, что функция имеет точку экстремума в точке x = -1. Теперь проанализируем знак производной в окрестностях точки x = -1. При x < -1 производная отрицательна, значит функция убывает. При x > -1 производная положительна, значит функция возрастает.

3) Наибольшее и наименьшее значения функции: чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, нужно анализировать поведение функции в точке экстремума и на границах области определения. Точка экстремума у нас уже найдена (x = -1). Подставив эту точку обратно в исходное уравнение, мы найдем значение функции в точке экстремума: y = -(-1+1)^2 + 4 = 4. Значит, наибольшее значение функции равно 4. Так как функция убывает при x < -1 и возрастает при x > -1, то наименьшее значение функции будет на границах области определения. Подставив x = ±∞ в исходное уравнение, мы увидим, что при x=±∞ функция стремится к -∞. Таким образом, наименьшее значение функции -∞.

Исходя из анализа, график функции y=-(x+1)^2 + 4 будет иметь вид параболы, вершина которой расположена в точке (-1, 4), а функция будет убывать при x < -1 и возрастать при x > -1.

Чтобы построить график функции ( y = -(x+1)^2 + 4 ), сначала рассмотрим её основные свойства.

1. Вид функции: Это квадратичная функция, заданная в форме вершины. Общий вид квадратичной функции в форме вершины имеет вид ( y = a(x-h)^2 + k ), где ((h, k)) — вершина параболы. В данном случае ( a = -1 ), ( h = -1 ), ( k = 4 ).

2. Вершина параболы: Вершина этой параболы находится в точке ((-1, 4)). Так как коэффициент при ((x+1)^2) отрицательный ((a = -1)), парабола направлена вниз.

3. Нули функции: Чтобы найти нули функции (точки, в которых график пересекает ось (x)), нужно решить уравнение ( y = 0 ): [ -(x+1)^2 + 4 = 0. ] Переносим 4 в другую сторону и меняем знак: [ (x+1)^2 = 4. ] Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: [ x+1 = \pm 2. ] Таким образом, получаем два решения: [ x+1 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1, ] [ x+1 = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -3. ] Нули функции: ( x = 1 ) и ( x = -3 ).

4. Промежутки возрастания и убывания: Для квадратичной функции, убывание и возрастание определяются знаком коэффициента (a) и расположением вершины. Так как парабола направлена вниз, функция возрастает на интервале ((-\infty, -1)) и убывает на интервале ((-1, \infty)).

5. Наибольшее и наименьшее значения функции:

   • Поскольку парабола направлена вниз, вершина является точкой максимума. Наибольшее значение функции — это значение в вершине, то есть ( y = 4 ) при ( x = -1 ).
   • Функция не имеет наименьшего значения, так как убывает до минус бесконечности на интервале ((-1, \infty)).

Теперь можно построить график функции. Начертите параболу с вершиной в точке ((-1, 4)), проходящую через точки пересечения с осью (x) в (x = -3) и (x = 1). График будет симметричен относительно прямой (x = -1).