Постройте график функции y=x^2-2x+3 . С помощью графика найдите: а) промежутки возрастания и убывания...

Для построения и анализа графика функции ( y = x^2 - 2x + 3 ), начнём с определения её ключевых характеристик и свойств.

1. Вид функции и её графика: Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Формула приведена в стандартной форме ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = 3 ).

2. Вершина параболы: Координаты вершины параболы можно найти по формулам ( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 ) и подставив ( x_0 ) в уравнение функции, получим ( y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 2 ). Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, 2).

3. Направление ветвей параболы: Так как коэффициент ( a ) (при ( x^2 )) положителен (( a = 1 )), ветви параболы направлены вверх.

4. Ось симметрии: Парабола симметрична относительно прямой ( x = 1 ).

5. Точки пересечения с осями координат:

   • Ось ординат (y-оси): Когда ( x = 0 ), ( y = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3 ). Таким образом, парабола пересекает ось ординат в точке (0, 3).
   • Ось абсцисс (x-оси): Решаем уравнение ( 0 = x^2 - 2x + 3 ), дискриминант данного квадратного уравнения ( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 ). Дискриминант отрицательный, что означает отсутствие действительных корней, следовательно, парабола не пересекает ось абсцисс.

6. Интервалы возрастания и убывания:

   • Убывает на интервале ( (-\infty, 1] ), так как слева от вершины (при ( x < 1 )) значения функции уменьшаются.
   • Возрастает на интервале ( [1, \infty) ), так как справа от вершины (при ( x > 1 )) значения функции увеличиваются.

7. Наибольшее и наименьшее значения функции:

   • Поскольку ветви параболы направлены вверх и функция не имеет максимального значения, наибольшего значения нет во всей области определения.
   • Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно ( y = 2 ) при ( x = 1 ).

Итак, график функции ( y = x^2 - 2x + 3 ) представляет собой параболу с вершиной в точке (1, 2), ветвями, направленными вверх, не пересекающую ось абсцисс и пересекающую ось ординат в точке (0, 3). Функция убывает на интервале ( (-\infty, 1] ) и возрастает на интервале ( [1, \infty) ).

График функции y=x^2-2x+3 представляет собой параболу, направленную вверх.

а) Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо проанализировать производную функции. Найдем производную функции: y' = 2x - 2

Производная функции равна нулю при х=1, что означает, что функция имеет экстремум в этой точке. Таким образом, промежуток возрастания функции - бесконечность отрицательная до x=1, промежуток убывания функции - от x=1 до бесконечности положительной.

б) Наибольшее значение функции достигается в точке экстремума, которая равна y(1) = 1^2 - 2*1 + 3 = 2.

в) Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции с осью ординат, подставим x=0 в уравнение функции: y = 0^2 - 2*0 + 3 = 3

Таким образом, координаты точки пересечения графика функции с осью ординат равны (0,3).

На графике функции y=x^2-2x+3 можно увидеть, что парабола направлена вверх, имеет экстремум в точке (1,2), а также пересекает ось ординат в точке (0,3).