Постройте график функции y=x^2-4x-5. Найдите с помощью графика: а) значение y при x=0,5 б) значения x, при которых y=3 в) нули функции г) промежутки, в которые значения функции положительные и отрицательные д) промежуток, в котором функция убывает
Постройте график функции y=x^2-4x-5. Найдите с помощью графика: а) значение y при x=0,5 б) значения x, при которых y=3 в) нули функции г) промежутки, в которые значения функции положительные и отрицательные д) промежуток, в котором функция убывает
Для построения графика функции y=x^2-4x-5 можно использовать графические программы или онлайн калькуляторы. Для удобства, представим функцию в виде квадратного уравнения: y = x^2 - 4x - 5.
а) Значение y при x=0,5 можно найти, подставив x=0,5 в уравнение: y = (0,5)^2 - 4*0,5 - 5 = 0,25 - 2 - 5 = -6,75. Таким образом, значение y при x=0,5 равно -6,75.
б) Чтобы найти значения x, при которых y=3, подставим y=3 в уравнение и решим квадратное уравнение: 3 = x^2 - 4x - 5. Получим x^2 - 4x - 8 = 0. Решив это уравнение, найдем два значения x, при которых y=3.
в) Нули функции можно найти, приравнивая y к нулю: x^2 - 4x - 5 = 0. Решив это уравнение, найдем значения x, при которых функция равна нулю.
г) Чтобы определить промежутки, в которых значения функции положительные и отрицательные, можно построить график функции и анализировать его. Положительные значения функции будут на тех участках графика, где функция находится выше оси x (y>0), а отрицательные - где функция находится ниже оси x (y
а) При x=0,5 значение y=-7,75 б) Значения x, при которых y=3, x≈-0,8 и x≈4,8 в) Нули функции: x=-1 и x=5 г) Значения функции положительные на промежутках x5, отрицательные на промежутке -1
Построение графика функции и анализ её свойств — важная часть изучения алгебры. Рассмотрим функцию ( y = x^2 - 4x - 5 ) и ответим на все поставленные вопросы.
Координаты вершины параболы: Вершина параболы с уравнением ( y = ax^2 + bx + c ) находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). Подставим значения: [ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 ] Найдём ( y ) при ( x = 2 ): [ y = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 ] Вершина параболы имеет координаты ( (2, -9) ).
Нули функции: Найдём корни уравнения ( x^2 - 4x - 5 = 0 ) методом разложения на множители: [ x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) = 0 ] Следовательно, нули функции: ( x = 5 ) и ( x = -1 ).
Построение параболы: Парабола направлена вверх, так как старший коэффициент ( a = 1 ) положительный. Нанесём основные точки на график: вершину (2, -9) и нули функции (-1, 0) и (5, 0). Также можно взять несколько дополнительных точек для уточнения формы параболы.
а) Значение ( y ) при ( x = 0.5 ): Подставим ( x = 0.5 ) в уравнение функции: [ y = (0.5)^2 - 4 \cdot 0.5 - 5 = 0.25 - 2 - 5 = -6.75 ] Значение ( y ) при ( x = 0.5 ) равно ( -6.75 ).
б) Значения ( x ), при которых ( y = 3 ): Решим уравнение ( x^2 - 4x - 5 = 3 ): [ x^2 - 4x - 5 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 8 = 0 ] Найдём корни квадратного уравнения: [ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 16 + 32 = 48 ] [ x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3} ] Значения ( x ): ( x_1 = 2 + 2\sqrt{3} ), ( x_2 = 2 - 2\sqrt{3} ).
в) Нули функции: Нули функции уже найдены: ( x = -1 ) и ( x = 5 ).
г) Промежутки, в которых значения функции положительные и отрицательные: Функция принимает нулевые значения при ( x = -1 ) и ( x = 5 ). Таким образом, парабола пересекает ось ( x ) в этих точках.
Для определения знака на промежутках можно использовать тестовые точки или анализ знаков множителей:
Значения функции положительные на интервалах ( (-\infty, -1) ) и ( (5, \infty) ), и отрицательные на интервале ( (-1, 5) ).
д) Промежуток, в котором функция убывает: Вершина параболы находится в точке ( x = 2 ). Функция убывает на интервале от ( -\infty ) до ( 2 ) и возрастает на интервале от ( 2 ) до ( \infty ).
Таким образом, функция убывает на промежутке ( (-\infty, 2) ).
Это даёт полное представление о графике функции и её основных свойствах.
