Постройте график функции y=x^2-4x+3. Найдите с помощью графика: а) значение y при x=1,5; б) значения x, при которых y=-2 в) значения x, при которых y<0 г) промежуток, в котором функция возрастает.
Постройте график функции y=x^2-4x+3. Найдите с помощью графика: а) значение y при x=1,5; б) значения x, при которых y=-2 в) значения x, при которых y<0 г) промежуток, в котором функция возрастает.
Для построения графика функции y=x^2-4x+3 сначала находим вершины параболы, которая задается уравнением y=a(x-h)^2+k, где (h,k) - координаты вершины параболы. Для функции y=x^2-4x+3 вершина параболы будет находиться в точке (2,-1). Затем определяем направление открытия параболы - в данном случае парабола направлена вверх, так как коэффициент при x^2 положителен.
а) Подставляем x=1,5 в уравнение функции: y=(1,5)^2-4*1,5+3=0,25-6+3=-2,75. Таким образом, значение y при x=1,5 равно -2,75.
б) Находим значения x, при которых y=-2. Подставляем y=-2 в уравнение функции: -2=x^2-4x+3. Получаем квадратное уравнение x^2-4x+5=0. Решая его, получаем два корня: x=2±i. Таким образом, у уравнения y=-2 нет действительных корней.
в) Находим значения x, при которых y
Для начала давайте разберемся, как построить график функции ( y = x^2 - 4x + 3 ).
Найдем ключевые точки:
Вершина параболы: Для функции вида ( y = ax^2 + bx + c ) вершина находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). В нашем случае ( a = 1 ) и ( b = -4 ), поэтому: [ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 ] Подставляем ( x = 2 ) в функцию, чтобы найти ( y ): [ y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 ] Вершина параболы находится в точке ( (2, -1) ).
Найдем точки пересечения с осью ( y ): Это точка, где ( x = 0 ): [ y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 ] Точка пересечения с осью ( y ) — это ( (0, 3) ).
Найдем точки пересечения с осью ( x ): Это точки, где ( y = 0 ): [ x^2 - 4x + 3 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 ] Таким образом, ( x = 1 ) и ( x = 3 ).
Теперь у нас есть ключевые точки: вершина ( (2, -1) ), точки пересечения с осью ( y ) ( (0, 3) ), и точки пересечения с осью ( x ) ( (1, 0) ) и ( (3, 0) ).
Теперь ответим на вопросы:
а) Найти значение ( y ) при ( x = 1.5 ): Подставляем ( x = 1.5 ) в функцию: [ y = (1.5)^2 - 4 \cdot 1.5 + 3 = 2.25 - 6 + 3 = -0.75 ] Таким образом, ( y = -0.75 ) при ( x = 1.5 ).
б) Найти значения ( x ), при которых ( y = -2 ): Подставляем ( y = -2 ) в уравнение: [ x^2 - 4x + 3 = -2 ] Переносим все в одну сторону: [ x^2 - 4x + 5 = 0 ] Решим это уравнение через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 ] Дискриминант отрицательный, значит, у этого уравнения нет действительных корней. Таким образом, нет значений ( x ), при которых ( y = -2 ).
в) Найти значения ( x ), при которых ( y < 0 ): График функции пересекает ось ( x ) в точках ( x = 1 ) и ( x = 3 ). Парабола открывается вверх, поэтому ( y < 0 ) между этими точками: [ 1 < x < 3 ]
г) Найти промежуток, в котором функция возрастает: Вершина параболы находится в точке ( x = 2 ). Поскольку парабола открывается вверх, функция убывает на интервале ( (-\infty, 2) ) и возрастает на интервале ( (2, \infty) ). Следовательно, функция возрастает на промежутке: [ (2, \infty) ]
Таким образом, график функции и ответы на вопросы можно обобщить следующим образом:
