Постройте график функции y=x^2-4x+3 Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

Для построения графика функции ( y = x^2 - 4x + 3 ) начнем с анализа ее характеристик и основных точек. Это квадратичная функция, график которой представляет собой параболу.

1. Вершина параболы

Формула для вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) находится по формулам:

• координата по x: ( x = -\frac{b}{2a} )
• координата по y: подставляем значение x в уравнение параболы.

Для данной функции ( a = 1, b = -4, c = 3 ). Тогда:

• ( x = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2 )
• ( y = (2)^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 )

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -1).

2. Нули функции

Найдем нули функции, решив уравнение ( x^2 - 4x + 3 = 0 ). Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант:

• ( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 )
• ( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2} )
• ( x_1 = 3, x_2 = 1 )

Функция пересекает ось x в точках x = 1 и x = 3.

3. Промежутки возрастания и убывания

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, найдем производную функции ( y = x^2 - 4x + 3 ):

• ( y' = 2x - 4 )

Производная равна нулю, когда ( 2x - 4 = 0 ) или ( x = 2 ). Это точка, в которой функция изменяет свой характер возрастания на убывание.

• При ( x < 2 ) производная отрицательна (функция убывает).
• При ( x > 2 ) производная положительна (функция возрастает).

Итоговые промежутки:

• Убывание: ( (-\infty, 2] )
• Возрастание: ( [2, +\infty) )

4. График функции

Графиком является парабола с вершиной в точке (2, -1), пересекающая ось x в точках (1, 0) и (3, 0), направленная ветвями вверх (так как коэффициент при ( x^2 ) положителен).

Это позволяет визуализировать функцию, подтверждая анализ ее поведения на различных интервалах.

Для построения графика функции y=x^2-4x+3 нужно сначала найти ее вершины и точки пересечения с осями координат.

1. Найдем вершину параболы. Вершина параболы находится в точке, где производная функции равна нулю. Найдем производную функции y=x^2-4x+3: y' = 2x - 4 Приравниваем производную к нулю и находим x: 2x - 4 = 0 2x = 4 x = 2 Теперь найдем значение y в точке x=2: y = 2^2 - 4*2 + 3 y = 4 - 8 + 3 y = -1 Итак, вершина параболы находится в точке (2, -1).

2. Найдем точки пересечения с осями координат: Для нахождения точек пересечения с осью x решим уравнение x^2-4x+3 = 0: (x-1)(x-3) = 0 Отсюда получаем две точки пересечения: x=1 и x=3. Для нахождения точек пересечения с осью y подставим x=0 в функцию: y = 0^2 - 4*0 + 3 y = 3 Точка пересечения с осью y равна (0, 3).

3. Построим график функции:

   • Вершина параболы находится в точке (2, -1).
   • Парабола направлена вверх, так как коэффициент при x^2 положителен.
   • Точки пересечения с осями координат: (1, 0), (3, 0) и (0, 3).

4. Промежутки возрастания и убывания функции: Функция возрастает на интервалах (-бесконечность, 2) и (3, +бесконечность), а убывает на интервале (2, 3).

Таким образом, график функции y=x^2-4x+3 будет представлять собой параболу, направленную вверх, с вершиной в точке (2, -1), проходящую через точки (1, 0), (3, 0) и (0, 3). Функция возрастает на интервалах (-бесконечность, 2) и (3, +бесконечность), а убывает на интервале (2, 3).