Постройте график функции y=x^2-6x+9. С помощью графика найдите: 1) значение y при x=0,5; 2)значение...

Для построения графика функции y=x^2-6x+9 мы можем воспользоваться методом завершения квадрата или просто использовать знание о том, что данная функция представляет собой параболу с вершиной в точке (3,0).

1) Для нахождения значения y при x=0,5 подставим x=0,5 в уравнение функции: y = (0,5)^2 - 6(0,5) + 9 = 0,25 - 3 + 9 = 6,25

2) Для нахождения значении x при y=2, подставим y=2 в уравнение функции и решим квадратное уравнение: 2 = x^2 - 6x + 9 x^2 - 6x + 7 = 0 (x - 1)(x - 7) = 0 x = 1 или x = 7

3) Нули функции - это значения x, при которых y=0. Решим уравнение: 0 = x^2 - 6x + 9 x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 x = 3

4) Для нахождения промежутков, в которых y>0 и y0 при x3, у

Для построения графика функции ( y = x^2 - 6x + 9 ), начнем с преобразования функции к более удобной форме. Заметим, что у нас есть квадратное выражение, которое можно упростить с помощью метода выделения полного квадрата.

1. Выделим полный квадрат: [ y = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 ]

Теперь функция принимает вид ( y = (x - 3)^2 ). Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке ( (3, 0) ).

1. Построим график данной функции. Вершина параболы находится в точке (3, 0). Поскольку коэффициент перед квадратом положительный, ветви параболы направлены вверх.

Теперь решим поставленные задачи:

1) Значение y при x = 0,5:

Подставим ( x = 0,5 ) в уравнение функции: [ y = (0,5 - 3)^2 = (-2,5)^2 = 6,25 ] Таким образом, при ( x = 0,5 ), ( y = 6,25 ).

2) Значение x при y = 2:

Рассмотрим уравнение: [ 2 = (x - 3)^2 ] Решим это уравнение: [ (x - 3)^2 = 2 ] Возьмем квадратный корень из обеих частей: [ x - 3 = \pm \sqrt{2} ] Получим два значения ( x ): [ x = 3 + \sqrt{2} ] и [ x = 3 - \sqrt{2} ] Следовательно, при ( y = 2 ), ( x ) может быть равен ( 3 + \sqrt{2} ) или ( 3 - \sqrt{2} ).

3) Нули функции:

Нули функции — это значения ( x ), при которых ( y = 0 ): [ (x - 3)^2 = 0 ] Решаем уравнение: [ x - 3 = 0 ] Следовательно, [ x = 3 ] Таким образом, функция имеет один ноль в точке ( x = 3 ).

4) Промежутки, в которых ( y > 0 ) и ( y < 0 ):

Поскольку парабола ( y = (x - 3)^2 ) открыта вверх и имеет вершину в точке (3, 0), функция принимает значение ( y = 0 ) только в точке ( x = 3 ). Во всех других точках ( y ) будет положительным, так как квадрат любого числа неотрицателен, и равен нулю только в одной точке.

Следовательно:

• ( y > 0 ) для всех ( x \neq 3 );
• ( y < 0 ) никогда не происходит, так как квадратичная функция принимает только неотрицательные значения.

Таким образом, промежутки, в которых ( y > 0 ), — это все ( x ), кроме ( x = 3 ).

Подведем итог:

• Значение ( y ) при ( x = 0,5 ): ( y = 6,25 ).
• Значение ( x ) при ( y = 2 ): ( x = 3 \pm \sqrt{2} ).
• Нули функции: ( x = 3 ).
• Промежутки, в которых ( y > 0 ): ( x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) ).
• Промежутки, в которых ( y < 0 ): таких промежутков нет, так как функция всегда неотрицательна.