Постройте график функции y=x^2 - x- 2. С помощью графика найдите:
А) значение функции, соответствующие аргумента, равному -1,5 ;
Б) значение аргумента, при которых значение функции равно 3;
В) промежутки знакопостаянсва функции;
Г) промежутки возрастания и убывания функции;
Д) область значения функции
Чтобы построить график функции ( y = x^2 - x - 2 ) и ответить на все вопросы, выполним последовательно несколько шагов.
Функция ( y = x^2 - x - 2 ) является квадратичной функцией (параболой). Её стандартный вид: ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -2 ).
Координаты вершины параболы можно найти по формулам: [ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5 ] [ y_v = c - \frac{b^2}{4a} = -2 - \frac{(-1)^2}{4 \cdot 1} = -2.25 ]
Таким образом, вершина параболы находится в точке (0.5, -2.25).
Ось Y: когда ( x = 0 ): [ y = 0^2 - 0 - 2 = -2 ] Точка (0, -2).
Ось X: решаем уравнение ( x^2 - x - 2 = 0 ): [ x^2 - x - 2 = 0 ] [ (x-2)(x+1) = 0 ] [ x = 2 \text{ или } x = -1 ] Точки (2, 0) и (-1, 0).
[ y = (-1.5)^2 - (-1.5) - 2 = 2.25 + 1.5 - 2 = 1.75 ] Ответ: ( y = 1.75 ).
[ x^2 - x - 2 = 3 ] [ x^2 - x - 5 = 0 ] Решая это квадратное уравнение, получаем: [ x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2} ] Ответ: ( x = \frac{1 + \sqrt{21}}{2} ) или ( x = \frac{1 - \sqrt{21}}{2} ).
Функция положительна (( y > 0 )) при ( x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) ) и отрицательна (( y < 0 )) при ( x \in (-1, 2) ).
Функция возрастает при ( x \in (0.5, +\infty) ) и убывает при ( x \in (-\infty, 0.5) ), так как парабола ветви вверх (коэффициент ( a > 0 )).
Так как парабола направлена вверх, минимальное значение функции равно ( y_v = -2.25 ). Таким образом, область значений функции: ( y \in [-2.25, +\infty) ).
Таким образом, для полного анализа функции и построения графика важно изучить её свойства, корни, вершину и поведение на бесконечности.
А) Подставляем x = -1,5 в функцию y=x^2 - x- 2: y = (-1,5)^2 - (-1,5) - 2 = 2,25 + 1,5 - 2 = 1,75
Ответ: значение функции при x = -1,5 равно 1,75.
Б) Пусть y = 3: 3 = x^2 - x - 2 x^2 - x - 5 = 0 D = 1 + 20 = 21 x1 = (1 + √21) / 2 x2 = (1 - √21) / 2
Ответ: значения аргумента, при котором значение функции равно 3, равны (1 + √21) / 2 и (1 - √21) / 2.
В) Функция y=x^2 - x- 2 является параболой с ветвями, направленными вверх. Поскольку коэффициент при x^2 положителен, то функция положительна при x > 0 и отрицательна при x < 0.
Промежутки знакопостоянства функции: Функция положительна при x > 2 и x < -1, негативна при -1 < x < 2.
Г) Функция возрастает на промежутках, где первая производная положительна, и убывает, где первая производная отрицательна. Вычислим производную функции: y' = 2x - 1
Функция возрастает при x > 0, убывает при x < 0.
Д) Область значений функции y=x^2 - x- 2 - это множество всех возможных значений y при изменении x. Поскольку функция является параболой с вершиной в точке (0, -2), область значений функции - это все действительные числа больше или равные -2.
Итак, область значений функции y=x^2 - x- 2: y ≥ -2.
