Постройте график функции y=x^2+4x+2. Найдите по графику: 1) нули функции 2) промежутки, в которых y0...

Для построения графика функции y=x^2+4x+2 сначала выразим ее в виде квадратного трехчлена: y=(x+2)^2-2.

1) Нули функции: Чтобы найти нули функции, приравняем y к нулю и решим уравнение (x+2)^2-2=0. (x+2)^2=2 x+2=±√2 x=-2±√2 - два корня функции.

2) Промежутки, в которых y>0: Учитывая, что (x+2)^2 всегда неотрицательно, а изначально к этой сумме прибавляется -2, то y будет больше нуля на всем промежутке от -бесконечности до первого корня и от второго корня до +бесконечности.

3) Промежутки возрастания и убывания функции: Функция y=x^2+4x+2 является параболой, которая направлена вверх, так как коэффициент при x^2 положителен. Следовательно, функция возрастает на промежутке от -бесконечности до первого корня, убывает на промежутке от первого корня до второго корня, и снова возрастает на промежутке от второго корня до +бесконечности.

4) Наименьшее значение функции: Наименьшее значение функции можно найти вычислив y при вершине параболы. Вершина параболы находится в точке (-2, -2). Следовательно, наименьшее значение функции равно -2.

1) Нули функции: нет действительных корней, так как дискриминант отрицательный. 2) Промежутки, в которых y > 0: весь график функции находится выше оси x, так как a > 0. 3) Промежутки возрастания и убывания функции: функция возрастает при x < -2 и убывает при x > -2. 4) Наименьшее значение функции: минимальное значение функции равно 1, достигается при x = -2.

Для построения графика функции ( y = x^2 + 4x + 2 ) и анализа ее свойств, выполним следующие шаги:

1. Построение графика функции

Функция ( y = x^2 + 4x + 2 ) является квадратичной и имеет вид параболы. В общем виде квадратичная функция записывается как ( y = ax^2 + bx + c ). В нашем случае:

• ( a = 1 )
• ( b = 4 )
• ( c = 2 )

Парабола открывается вверх, так как коэффициент ( a ) положительный.

Вершина параболы

Вершина параболы находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ): [ x = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 ]

Подставим ( x = -2 ) в уравнение функции, чтобы найти координату ( y ) вершины: [ y = (-2)^2 + 4(-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 ]

Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (-2, -2) ).

Нули функции

Нули функции (корни уравнения) находятся из уравнения ( x^2 + 4x + 2 = 0 ). Для этого воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Подставим наши значения: [ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2} ]

Таким образом, нули функции: [ x_1 = -2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = -2 - \sqrt{2} ]

2. Промежутки, в которых ( y > 0 ) и ( y < 0 )

• ( y > 0 ) на промежутках ( x \in (-\infty, -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}, +\infty) )
• ( y < 0 ) на промежутке ( x \in (-2 - \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2}) )

3. Промежутки возрастания и убывания функции

Функция убывает на интервале от ( -\infty ) до вершины и возрастает на интервале от вершины до ( +\infty ):

• Убывает на ( x \in (-\infty, -2) )
• Возрастает на ( x \in (-2, +\infty) )

4. Наименьшее значение функции

Наименьшее значение квадратичной функции ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a > 0 ), достигается в вершине параболы. Как мы уже нашли, вершина находится в точке ( (-2, -2) ), следовательно, наименьшее значение функции: [ y_{\text{min}} = -2 ]

Итог:

• Нули функции: ( x_1 = -2 + \sqrt{2}, x_2 = -2 - \sqrt{2} )
• Промежутки, в которых ( y > 0 ): ( (-\infty, -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}, +\infty) )
• Промежутки, в которых ( y < 0 ): ( (-2 - \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2}) )
• Промежутки убывания: ( (-\infty, -2) )
• Промежутки возрастания: ( (-2, +\infty) )
• Наименьшее значение функции: ( y_{\text{min}} = -2 )