Постройте график функции y=x^2+4x+3 Найти по графику: a) значение y при x=2; b) значения x, при которых...

Для начала построим график функции ( y = x^2 + 4x + 3 ).

Построение графика:

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при ( x^2 ) положительный, значит ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем вершину параболы. Формула для ( x ) координаты вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) имеет вид ( x = -\frac{b}{2a} ). В данном случае ( a = 1 ), ( b = 4 ), поэтому: [ x = -\frac{4}{2 \times 1} = -2 ] Подставим ( x = -2 ) в уравнение, чтобы найти ( y ): [ y = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ((-2, -1)).

2. Найдем нули функции (точки пересечения графика с осью ( x )), решив уравнение ( x^2 + 4x + 3 = 0 ). Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Подставляя значения ( a = 1 ), ( b = 4 ), ( c = 3 ), получим: [ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} ] [ x_1 = -1, \quad x_2 = -3 ] Таким образом, нули функции — это точки ( x = -1 ) и ( x = -3 ).

3. Промежутки возрастания и убывания. Так как парабола открывается вверх и вершина находится в точке ((-2, -1)), функция убывает на интервале ( (-\infty, -2] ) и возрастает на интервале ( [-2, \infty) ).

Анализ графика:

а) Значение ( y ) при ( x = 2 ): [ y = 2^2 + 4 \cdot 2 + 3 = 4 + 8 + 3 = 15 ] Значение ( y ) при ( x = 2 ) равно 15.

б) Значения ( x ), при которых ( y = 3 ): Найти ( x ) из уравнения ( x^2 + 4x + 3 = 3 ): [ x^2 + 4x + 3 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x = 0 ] [ x(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = -4 ] Значения ( x ), при которых ( y = 3 ), равны 0 и -4.

в) Нули функции уже найдены: ( x = -1 ) и ( x = -3 ).

г) Промежутки возрастания и убывания:

• Функция убывает на ( (-\infty, -2] )
• Функция возрастает на ( [-2, \infty) )

Этот анализ подтверждает корректность построения графика и позволяет ответить на заданные вопросы.

a) Для нахождения значения y при x=2 подставим значение x=2 в уравнение функции: y = 2^2 + 4*2 + 3 = 4 + 8 + 3 = 15 Таким образом, значение y при x=2 равно 15.

b) Для нахождения значений x, при которых y=3, подставим значение y=3 в уравнение функции: 3 = x^2 + 4x + 3 x^2 + 4x = 0 x(x + 4) = 0 Отсюда получаем два решения: x=0 и x=-4.

в) Нули функции - это значения x, при которых y=0. Для нахождения нулей функции подставим y=0 в уравнение функции: 0 = x^2 + 4x + 3 x^2 + 4x + 3 = 0 (x + 3)(x + 1) = 0 Отсюда получаем два решения: x=-3 и x=-1.

г) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, найдем точку экстремума функции. Для этого найдем первую производную функции: y' = 2x + 4 Точка экстремума находится при y'=0: 0 = 2x + 4 x = -2 Таким образом, точка экстремума функции находится при x=-2.

Подставим значения x=-3, x=-2 и x=-1 в функцию и сравним значения y: y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 y(-1) = (-1)^2 + 4*(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0

Таким образом, функция возрастает на промежутке (-∞, -2) и (-1, +∞), и убывает на промежутке (-2, -1).