Постройте график функций y=x^4-5x^2+4 / (x-1)(x-2) и определите, при каких значениях с у=с имеет с графиком...

Для построения графика функции ( y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x-1)(x-2)} ) и определения, при каких значениях ( c ) уравнение ( y = c ) имеет ровно одну общую точку с графиком функции, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Упростим числитель функции: [ x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) ]

2. Перепишем функцию с учетом упрощения числителя: [ y = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)} ] Здесь ( x \neq 1 ) и ( x \neq 2 ), так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

3. Сократим дробь: [ y = (x+1)(x+2) ] при условии, что ( x \neq 1 ) и ( x \neq 2 ).

   Получаем: [ y = x^2 + 3x + 2 ]

   Однако, в точках ( x = 1 ) и ( x = 2 ) функция имеет вертикальные асимптоты.

4. Построим график функции ( y = x^2 + 3x + 2 ): Это парабола, вершина которой находится в точке ( x = -\frac{3}{2} ), и она открыта вверх. Вершина параболы: [ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2} ]

   Значение функции в вершине: [ y = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3 \left(-\frac{3}{2}\right) + 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{9 - 18 + 8}{4} = -\frac{1}{4} ]

   Точки пересечения с осями:

   • При ( y = 0 ): ( x^2 + 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x+1)(x+2) = 0 \Rightarrow x = -1 ) или ( x = -2 ).

5. Определим поведение функции в точках ( x = 1 ) и ( x = 2 ): В этих точках у функции вертикальные асимптоты.

6. Найдем условия для уравнения ( y = c ) имеет ровно одну общую точку с графиком:

   Уравнение ( y = c ) пересекает график функции ( y = x^2 + 3x + 2 ). Для нахождения точек пересечения решим: [ x^2 + 3x + 2 = c ]

   Переносим ( c ) влево: [ x^2 + 3x + (2 - c) = 0 ]

   Дискриминант этого квадратного уравнения: [ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - c) = 9 - 8 + 4c = 1 + 4c ]

   Чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю: [ 1 + 4c = 0 \Rightarrow c = -\frac{1}{4} ]

Таким образом, значение ( c = -\frac{1}{4} ) является тем значением, при котором прямая ( y = c ) пересекает график функции ( y = x^2 + 3x + 2 ) ровно в одной точке.

Для начала построим график функции y=x^4-5x^2+4 / (x-1)(x-2):

1. Найдем вертикальные асимптоты, которые соответствуют нулям знаменателя функции (x-1)(x-2). Уравнение асимптоты: x=1 и x=2.

2. Теперь найдем горизонтальную асимптоту. Для этого разделим степень числителя на степень знаменателя: y = (x^4-5x^2+4) / (x^2-3x+2). Первоначально убедимся, что степень числителя меньше степени знаменателя. Далее разделим многочлены и получим, что горизонтальная асимптота равна y=x^2-2x.

3. Теперь построим гногочлен y=x^4-5x^2+4 и асимптоты, найденные на предыдущем шаге.

4. Определим общую точку графика многочлена и асимптоты, подставив у=с в уравнение и найдя решение уравнения, где два графика пересекаются ровно в одной точке.

Таким образом, при анализе графика функции y=x^4-5x^2+4 / (x-1)(x-2) мы можем определить, при каких значениях с у=с график имеет ровно одну общую точку.