Постройте график у=х^2+2х+1. с объясеним пожалуйста

Для построения графика функции y = x^2 + 2x + 1 сначала определим, как будут меняться значения функции при изменении аргумента x.

Функция y = x^2 + 2x + 1 представляет собой квадратное уравнение, которое имеет вершину в точке (-1, 0) и является параболой, направленной вверх. Коэффициент перед x^2 равен 1, что означает, что парабола будет симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через вершину.

Таким образом, при увеличении аргумента x значения функции y будут увеличиваться, и наоборот.

Для построения графика можно выбрать несколько значений x, вычислить соответствующие значения y и построить точки, соответствующие этим значениям на координатной плоскости.

Также можно использовать дополнительные методы, такие как нахождение вершины параболы, нахождение корней уравнения, нахождение точек пересечения с осями координат и т.д., чтобы более точно определить форму и положение графика функции.

Для построения графика функции ( y = x^2 + 2x + 1 ), начнем с анализа функции и её характеристик.

1. Определение типа функции: данная функция является квадратичной функцией, так как её можно представить в виде ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a ), ( b ), и ( c ) — константы, и ( a \neq 0 ). В нашем случае ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = 1 ).

2. Преобразование к стандартному виду: функцию можно упростить, используя квадратичное дополнение: [ y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2. ] Это уравнение показывает, что график функции — парабола, вершина которой находится в точке ((-1, 0)).

3. Вершина параболы: как было выведено, вершина параболы находится в точке ((-1, 0)).

4. Ось симметрии: парабола симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через вершину. Следовательно, ось симметрии параболы — это линия ( x = -1 ).

5. Направление ветвей: поскольку коэффициент ( a ) (при ( x^2 )) положительный (( a = 1 )), ветви параболы направлены вверх.

6. Точки пересечения с осями координат:

   • С осью ( y ): подставим ( x = 0 ) в уравнение параболы: [ y = 0^2 + 2 \cdot 0 + 1 = 1. ] Точка пересечения с осью ( y ) — это ( (0, 1) ).
   • С осью ( x ): подставим ( y = 0 ) и найдем ( x ): [ 0 = (x + 1)^2. ] [ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1. ] Таким образом, график пересекает ось ( x ) в точке ((-1, 0)).

7. Чертеж графика: на координатной плоскости отметим вершину ((-1, 0)) и точку пересечения с осью ( y ) ((0, 1)). Проведем ось симметрии ( x = -1 ). Затем начертим параболу с ветвями, направленными вверх, проходящую через указанные точки.

Этот график представляет собой параболу с вершиной в точке ((-1, 0)) и ветвями, направленными вверх, что характерно для квадратичной функции с положительным коэффициентом при ( x^2 ).