Постройте и прочитайте граафик функций y=f(x),где f(x)=3x, x ≤1, x^2-6x+8,если 1

Для построения графика функции y=f(x) с учетом условий f(x)=3x при x ≤ 1 и f(x)=x^2-6x+8 при x > 1, нужно разбить область определения функции на две части: x ≤ 1 и x > 1.

1. Для x ≤ 1 функция f(x)=3x. Построим график этой функции. Для этого откладываем ось x и ось y, и затем проводим прямую линию, соответствующую уравнению y=3x. Так как это прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов, график будет представлять из себя прямую, идущую из начала координат вправо вверх.

2. Для x > 1 функция f(x)=x^2-6x+8. Построим график этой функции. Для этого можно воспользоваться методом нахождения вершины параболы, который равен x=-b/(2a), где a, b и c - коэффициенты из уравнения квадратичной функции. В данном случае a=1, b=-6, c=8. Подставив значения, получаем x=3. Таким образом, вершина параболы находится в точке x=3. Подставив x=3 в уравнение, находим y=3^2-6*3+8=9-18+8=-1. Таким образом, вершина параболы находится в точке x=3, y=-1.

Теперь, объединив оба графика, получаем общий график функции y=f(x), который будет состоять из прямой линии в области x ≤ 1 и параболы в области x > 1, с вершиной в точке (3, -1).

Чтобы построить и проанализировать график данной функции ( y = f(x) ), мы должны рассмотреть её определение, которое состоит из двух кусочков:

1. ( f(x) = 3x ) для ( x \leq 1 )
2. ( f(x) = x^2 - 6x + 8 ) для ( x > 1 )

Построение графика

1. Первый кусок: ( f(x) = 3x ) для ( x \leq 1 )

• Это линейная функция с угловым коэффициентом 3 и проходит через начало координат (0,0).
• Для ( x = 1 ), ( f(1) = 3 \times 1 = 3 ).
• Таким образом, график этого кусочка — это прямая, идущая через точки (0,0) и (1,3).

2. Второй кусок: ( f(x) = x^2 - 6x + 8 ) для ( x > 1 )

• Это квадратичная функция. Для анализа её поведения найдем вершину и точки пересечения с осями.
• Точки пересечения с осью x: Решим уравнение ( x^2 - 6x + 8 = 0 ).
  • Дискриминант: ( D = 36 - 4 \times 1 \times 8 = 4 ).
  • Корни: ( x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} ).
  • Корни: ( x_1 = 4 ) и ( x_2 = 2 ).
• Вершина параболы находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3 ).
• Значение функции в вершине: ( f(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 8 = 1 ).
• Таким образом, парабола проходит через точки (2,0), (3,1), и (4,0).

Анализ и чтение графика

• Для ( x \leq 1 ), функция линейна и увеличивается с увеличением ( x ).
• В точке ( x = 1 ), функция имеет значение ( f(1) = 3 ).
• Для ( x > 1 ), функция является параболой, открытой вверх, с вершиной в точке (3,1).
• Парабола пересекает ось x в точках (2,0) и (4,0).

Сводка

• График состоит из двух частей: линейной и квадратичной.
• Эти части соединяются в точке (1,3), где линейный участок заканчивается, а квадратичный начинается.
• Важно отметить, что в точке ( x = 1 ) функция непрерывна, так как оба кусочка дают одно и то же значение ( f(1) = 3 ).

В результате мы получаем составной график, где для ( x \leq 1 ) функция является линейной, а для ( x > 1 ) — квадратичной.