Чтобы решить биквадратное уравнение (X^4 - 11X^2 + 28 = 0), сначала проведем замену переменной. Пусть (Y = X^2). Тогда уравнение (X^4 - 11X^2 + 28 = 0) можно переписать в виде:
[Y^2 - 11Y + 28 = 0]
Теперь решим это квадратное уравнение относительно (Y). Для этого используем дискриминант:
[D = b^2 - 4ac]
Здесь (a = 1), (b = -11) и (c = 28). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
[D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28]
[D = 121 - 112]
[D = 9]
Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня. Найдем эти корни по формуле:
[Y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}]
Подставим значения (b), (D) и (a):
[Y{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{2}]
[Y{1,2} = \frac{11 \pm 3}{2}]
Теперь найдем два значения (Y):
[Y_1 = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7]
[Y_2 = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4]
Теперь вернемся к переменной (X). Напомним, что (Y = X^2). Таким образом, у нас есть два уравнения:
- (X^2 = 7)
- (X^2 = 4)
Решим каждое из них:
- (X^2 = 7)
[X = \pm \sqrt{7}]
- (X^2 = 4)
[X = \pm 2]
Таким образом, у нас есть четыре решения:
[X = \sqrt{7}, \quad X = -\sqrt{7}, \quad X = 2, \quad X = -2]
Ответ: корни уравнения (X^4 - 11X^2 + 28 = 0) это (X = \sqrt{7}), (X = -\sqrt{7}), (X = 2), (X = -2).