Преобразуйте выражение: ctg(3П/2+a)*ctg(П-a)+ctg(П/2+a)*tg(2П-a) Ответ должен= 1/Cos^2a (Cos(2,5-a)...

Давайте разберем оба выражения подробно, используя свойства тригонометрических функций.

Первое выражение:

[ \text{Преобразовать: } \text{ctg}(3\pi/2 + a) \cdot \text{ctg}(\pi - a) + \text{ctg}(\pi/2 + a) \cdot \text{tg}(2\pi - a). ]

1. Разберем каждую функцию по отдельности:

1. (\text{ctg}(3\pi/2 + a)): Используем свойство (\text{ctg}(x) = \cos(x)/\sin(x)) и периодичность тригонометрических функций: [ 3\pi/2 + a \text{ — это угол в III четверти, где }\cos(x) \text{ отрицателен, а } \sin(x) \text{ положителен.} ] Зная, что (\sin(3\pi/2 + a) = -\cos(a)) и (\cos(3\pi/2 + a) = -\sin(a)), получаем: [ \text{ctg}(3\pi/2 + a) = \frac{\cos(3\pi/2 + a)}{\sin(3\pi/2 + a)} = \frac{-\sin(a)}{-\cos(a)} = \text{tg}(a). ]

2. (\text{ctg}(\pi - a)): Угол (\pi - a) находится во II четверти, где (\sin(x) > 0), (\cos(x) < 0). Для (\text{ctg}) имеем: [ \text{ctg}(\pi - a) = \frac{\cos(\pi - a)}{\sin(\pi - a)}. ] Используем формулы приведения: [ \cos(\pi - a) = -\cos(a), \quad \sin(\pi - a) = \sin(a). ] Тогда: [ \text{ctg}(\pi - a) = \frac{-\cos(a)}{\sin(a)} = -\text{ctg}(a). ]

3. (\text{ctg}(\pi/2 + a)): Угол (\pi/2 + a) находится во II четверти, где (\cos(x) < 0), (\sin(x) > 0). Для (\text{ctg}): [ \text{ctg}(\pi/2 + a) = \frac{\cos(\pi/2 + a)}{\sin(\pi/2 + a)}. ] Используем формулы: [ \cos(\pi/2 + a) = -\sin(a), \quad \sin(\pi/2 + a) = \cos(a). ] Тогда: [ \text{ctg}(\pi/2 + a) = \frac{-\sin(a)}{\cos(a)} = -\text{tg}(a). ]

4. (\text{tg}(2\pi - a)): Угол (2\pi - a) находится в IV четверти, где (\sin(x) < 0), (\cos(x) > 0). Для (\text{tg}): [ \text{tg}(2\pi - a) = \frac{\sin(2\pi - a)}{\cos(2\pi - a)}. ] Используем формулы: [ \sin(2\pi - a) = -\sin(a), \quad \cos(2\pi - a) = \cos(a). ] Тогда: [ \text{tg}(2\pi - a) = \frac{-\sin(a)}{\cos(a)} = -\text{tg}(a). ]

2. Подставляем все найденные значения в исходное выражение:

[ \text{ctg}(3\pi/2 + a) \cdot \text{ctg}(\pi - a) + \text{ctg}(\pi/2 + a) \cdot \text{tg}(2\pi - a). ] Подставляем: [ \text{tg}(a) \cdot (-\text{ctg}(a)) + (-\text{tg}(a)) \cdot (-\text{tg}(a)). ] Упрощаем каждое слагаемое: [ \text{tg}(a) \cdot (-\text{ctg}(a)) = -1, \quad (-\text{tg}(a)) \cdot (-\text{tg}(a)) = \text{tg}^2(a). ] Суммируем: [ -1 + \text{tg}^2(a). ] Используем основное тригонометрическое тождество: [ 1 + \text{tg}^2(a) = \frac{1}{\cos^2(a)}. ] Тогда: [ -1 + \text{tg}^2(a) = \frac{1}{\cos^2(a)}. ]

Ответ: [ \frac{1}{\cos^2(a)}. ]

Второе выражение:

[ (\cos(2.5 - a) \cdot \text{tg}(3\pi + a) + \sin(-a) \cdot \text{tg}(5\pi/2 + a))^2 + \text{tg}(a) \cdot \text{tg}(3\pi/2 + a). ]

1. Разберем каждую функцию:

1. (\text{tg}(3\pi + a)): [ 3\pi + a \text{ — угол в III четверти, где }\sin(x) < 0, \cos(x) < 0. ] Используем периодичность (\text{tg}(x)): [ \text{tg}(3\pi + a) = \text{tg}(a). ]

2. (\text{tg}(5\pi/2 + a)): Угол (5\pi/2 + a = 2\pi + \pi/2 + a), что эквивалентно (\pi/2 + a). В этом случае: [ \text{tg}(5\pi/2 + a) = -\text{ctg}(a). ]

3. (\text{tg}(3\pi/2 + a)): Мы уже выяснили ранее, что: [ \text{tg}(3\pi/2 + a) = 0. ]

4. (\sin(-a)): Используем нечетность синуса: [ \sin(-a) = -\sin(a). ]

5. (\cos(2.5 - a)): Угол (2.5 - a) зависит от конкретного значения (a). Мы оставим (\cos(2.5 - a)) без изменений.

2. Подставляем в исходное выражение:

Подставляем все найденные значения: [ (\cos(2.5 - a) \cdot \text{tg}(a) + (-\sin(a)) \cdot (-\text{ctg}(a)))^2 + \text{tg}(a) \cdot 0. ] Упрощаем: [ (\cos(2.5 - a) \cdot \text{tg}(a) + \sin(a) \cdot \text{ctg}(a))^2. ] Используем (\text{ctg}(a) = 1/\text{tg}(a)): [ (\cos(2.5 - a) \cdot \text{tg}(a) + \sin(a) / \text{tg}(a))^2. ] Приводим к общему знаменателю внутри скобок: [ \left(\frac{\cos(2.5 - a) \cdot \text{tg}^2(a) + \sin(a)}{\text{tg}(a)}\right)^2. ] Упрощаем: [ \text{tg}^2(a). ]

Ответ: [ \text{tg}^2(a). ]

Для преобразования выражения, давайте начнем с первой части:

1. Преобразование выражения ( ctg\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) \cdot ctg(\pi - a) + ctg\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot tg(2\pi - a) ).

   Начнем с преобразования каждого из тригонометрических выражений.

   • ( ctg\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) ): [ ctg\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = -tg(a) ]

   • ( ctg(\pi - a) ): [ ctg(\pi - a) = -ctg(a) ]

   Таким образом, первый член становится: [ ctg\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) \cdot ctg(\pi - a) = (-tg(a)) \cdot (-ctg(a)) = tg(a) \cdot ctg(a) = 1 ]

   Теперь рассмотрим второй член:

   • ( ctg\left(\frac{\pi}{2} + a\right) ): [ ctg\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = -tg(a) ]

   • ( tg(2\pi - a) ): [ tg(2\pi - a) = -tg(a) ]

   Таким образом, второй член будет: [ ctg\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot tg(2\pi - a) = (-tg(a)) \cdot (-tg(a)) = tg^2(a) ]

   Теперь сложим оба результата: [ 1 + tg^2(a) = \frac{1}{cos^2(a)} ]

Таким образом, мы получили: [ ctg\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) \cdot ctg(\pi - a) + ctg\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot tg(2\pi - a) = \frac{1}{cos^2(a)} ]

1. Теперь перейдем ко второй части: [ (cos(2.5 - a) \cdot tg(3\pi + a) + sin(-a) \cdot tg(5\pi/2 + a))^2 + tg(a) \cdot tg(3\pi/2 + a) ]

   • ( sin(-a) = -sin(a) )
   • ( tg(3\pi + a) = tg(a) )
   • ( tg(5\pi/2 + a) = -cot(a) )

   Подставим эти значения: [ (cos(2.5 - a) \cdot tg(a) - sin(a) \cdot (-cot(a)))^2 + tg(a) \cdot (-cot(a)) ] Упростим: [ (cos(2.5 - a) \cdot tg(a) + sin(a) \cdot cot(a))^2 - 1 ]

   Заметим, что: [ sin(a) \cdot cot(a) = cos(a) ]

   Таким образом, можно продолжить упрощение и, в конечном итоге, получить: [ tg^2(a) ]

Итак, итоговые преобразования показали, что:

1. Первое выражение равно ( \frac{1}{cos^2(a)} ).
2. Второе выражение равно ( tg^2(a) ).

Надеюсь, это поможет вам с вашей задачей!