При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти минимальное количество выстрелов ( n ), при котором вероятность уничтожения цели будет не менее 0,98.
Обозначим вероятность уничтожения цели при первом выстреле как ( p_1 = 0,4 ), а вероятность уничтожения цели при каждом последующем выстреле как ( p_2 = 0,6 ).
Теперь рассмотрим вероятность того, что цель будет уничтожена после ( n ) выстрелов. Цель будет уничтожена либо при первом выстреле, либо не будет уничтожена при первом выстреле, но уничтожена на одном из последующих. Таким образом, мы можем записать это как сумму вероятностей для каждого выстрела.
Обозначим ( q = 1 - p_2 = 0,4 ) — вероятность не уничтожить цель при каждом выстреле, начиная со второго.
Вероятность того, что цель не будет уничтожена после ( n ) выстрелов, равна: [ q^n = 0,4^n ]
Таким образом, вероятность уничтожения цели после ( n ) выстрелов равна: [ 1 - q^n = 1 - 0,4^n ]
Нам нужно найти минимальное ( n ), при котором: [ 1 - 0,4^n \geq 0,98 ] [ 0,4^n \leq 0,02 ]
Теперь решим неравенство ( 0,4^n \leq 0,02 ) относительно ( n ). Возьмем логарифм обеих сторон: [ \log(0,4^n) \leq \log(0,02) ] [ n \cdot \log(0,4) \leq \log(0,02) ]
Так как ( \log(0,4) ) отрицательный, мы можем разделить обе стороны на ( \log(0,4) ), помня, что знак неравенства изменится: [ n \geq \frac{\log(0,02)}{\log(0,4)} ]
Подставляя значения, получим: [ n \geq \frac{\log(0,02)}{\log(0,4)} \approx \frac{-1,6990}{-0,3979} \approx 4,27 ]
Так как ( n ) должно быть целым числом, округляем в большую сторону: [ n = 5 ]
Следовательно, потребуется минимум 5 выстрелов, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98.
Для решения данной задачи воспользуемся формулой вероятности события, которая выражается через вероятность противоположного события. Пусть событие A - цель уничтожена при первом выстреле, а событие B - цель уничтожена при последующих выстрелах.
Тогда вероятность уничтожения цели при первом выстреле равна P(A) = 0.4, а вероятность уничтожения цели при последующих выстрелах равна P(B) = 0.6.
Теперь найдем вероятность противоположного события P(B') - цель не уничтожена при последующих выстрелах, она равна 1 - P(B) = 0.4.
Таким образом, вероятность уничтожения цели после n выстрелов будет равна P = P(A) + P(B')^n = 0.4 + 0.6^n.
Нам нужно найти минимальное количество выстрелов n, при котором вероятность уничтожения цели будет не менее 0.98. То есть нам нужно найти такое n, что P ≥ 0.98:
0.4 + 0.6^n ≥ 0.98, 0.6^n ≥ 0.58, n ≥ log0.6(0.58).
Подсчитав данное выражение, мы получим, что n ≥ 4. Таким образом, для того чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.98, потребуется не менее 4 выстрелов.
Для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98, потребуется 4 выстрела.
