При каких b значение дроби 2-b/4 больше соответствующего значения дроби 14-b/2?

Для решения неравенства, заданного в условии, начнем с того, чтобы записать его в более удобной форме. Нам нужно выяснить, при каких значениях ( b ) справедливо неравенство:

[ \frac{2 - b}{4} > \frac{14 - b}{2} ]

Для начала умножим обе стороны неравенства на 4, чтобы избавиться от дробей (учтем, что при этом знак неравенства не изменится, так как 4 — положительное число):

[ 2 - b > 2(14 - b) ]

Теперь раскроем скобки на правой стороне:

[ 2 - b > 28 - 2b ]

Теперь добавим ( 2b ) к обеим сторонам неравенства:

[ 2 + b > 28 ]

Затем вычтем 2 из обеих сторон:

[ b > 26 ]

Таким образом, мы пришли к выводу, что дробь ( \frac{2 - b}{4} ) больше дроби ( \frac{14 - b}{2} ) при условии, что ( b > 26 ).

Давайте проверим, что это неравенство действительно выполняется для значений ( b ) больше 26. Например, если ( b = 27 ):

[ \frac{2 - 27}{4} = \frac{-25}{4} = -6.25 ] [ \frac{14 - 27}{2} = \frac{-13}{2} = -6.5 ]

В этом случае, действительно:

[ -6.25 > -6.5 ]

Теперь, чтобы убедиться, что это неравенство верно для любых значений ( b > 26 ), можем взять общее значение ( b = 30 ):

[ \frac{2 - 30}{4} = \frac{-28}{4} = -7 ] [ \frac{14 - 30}{2} = \frac{-16}{2} = -8 ]

Также выполняется:

[ -7 > -8 ]

Таким образом, мы можем сделать вывод, что для любых значений ( b > 26 ), неравенство ( \frac{2 - b}{4} > \frac{14 - b}{2} ) будет выполняться.

Ответ: ( b > 26 ).

Давайте разберём данный вопрос подробно:

Нам нужно найти такие значения ( b ), при которых значение дроби

[ \frac{2 - b}{4} ]

больше значения дроби

[ \frac{14 - b}{2}. ]

То есть, нужно решить неравенство:

[ \frac{2 - b}{4} > \frac{14 - b}{2}. ]

Шаг 1. Устранение дробей

Для начала избавимся от дробей, чтобы упростить выражение. Для этого умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель (НОЗ) знаменателей, который равен 4. Умножение на положительное число (в данном случае ( 4 )) не меняет знак неравенства:

[ 4 \cdot \frac{2 - b}{4} > 4 \cdot \frac{14 - b}{2}. ]

После умножения:

[ 2 - b > 2 \cdot (14 - b). ]

Шаг 2. Раскрытие скобок

Раскроем скобки в правой части:

[ 2 - b > 28 - 2b. ]

Шаг 3. Приведение подобных членов

Перенесём все члены, содержащие ( b ), в одну часть неравенства, а все числовые члены — в другую. Для этого сначала добавим ( 2b ) к обеим частям:

[ 2 - b + 2b > 28. ]

Упростим:

[ 2 + b > 28. ]

Теперь вычтем 2 из обеих частей:

[ b > 26. ]

Шаг 4. Ответ

Неравенство ( b > 26 ) означает, что дробь ( \frac{2 - b}{4} ) будет больше дроби ( \frac{14 - b}{2} ), если ( b ) строго больше 26.

Проверка

Подставим ( b = 27 ) (значение больше 26):

[ \frac{2 - 27}{4} = \frac{-25}{4} = -6.25, \quad \frac{14 - 27}{2} = \frac{-13}{2} = -6.5. ]

(-6.25 > -6.5), значит, неравенство выполняется.

Подставим ( b = 26 ) (значение на границе):

[ \frac{2 - 26}{4} = \frac{-24}{4} = -6, \quad \frac{14 - 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6. ]

(-6 \not> -6), то есть неравенство не выполняется.

Таким образом, окончательный ответ: ( b > 26 ).