При каких целых значениях n дробь (n^2-n+3)/(n+1) является целым числом

Для того чтобы дробь (n^2 - n + 3) / (n + 1) была целым числом, необходимо, чтобы числитель делился нацело на знаменатель.

Рассмотрим числитель (n^2 - n + 3) как квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c. В данном случае a=1, b=-1, c=3. Для того чтобы это уравнение имело корни, дискриминант должен быть неотрицательным: D=b^2 - 4ac >= 0. Подставляя в формулу дискриминанта значения a, b, c, получаем: (-1)^2 - 413 >= 0, что равно 1 - 12 = -11, что меньше нуля. Значит, уравнение n^2 - n + 3 не имеет целых корней.

Следовательно, дробь (n^2 - n + 3) / (n + 1) не будет целым числом при любом целом значении n.

Для того чтобы дробь (\frac{n^2 - n + 3}{n + 1}) была целым числом, необходимо, чтобы числитель (n^2 - n + 3) делился нацело на знаменатель (n + 1).

Рассмотрим выражение (n^2 - n + 3) и попытаемся его упростить с помощью деления в столбик или методом подбора. Мы можем использовать деление многочленов:

1. Разделим (n^2 - n + 3) на (n + 1): [ \frac{n^2 - n + 3}{n + 1} = n - 2 + \frac{5}{n + 1} ]

2. Это означает, что остаток от деления (n^2 - n + 3) на (n + 1) равен 5. Для того чтобы дробь была целым числом, остаток должен быть равен нулю, то есть: [ \frac{5}{n + 1} = 0 ]

3. Уравнение (\frac{5}{n + 1} = 0) не имеет решений, так как 5 не может быть равным нулю. Однако это говорит о том, что для целочисленности дроби остаток 5 должен быть делим на (n + 1).

4. Следовательно, (n + 1) должно быть делителем 5. Целые делители числа 5 — это 1, -1, 5 и -5.

Теперь найдем соответствующие значения (n):

• Если (n + 1 = 1), то (n = 0).
• Если (n + 1 = -1), то (n = -2).
• Если (n + 1 = 5), то (n = 4).
• Если (n + 1 = -5), то (n = -6).

Таким образом, дробь (\frac{n^2 - n + 3}{n + 1}) является целым числом при (n = 0), (n = -2), (n = 4) и (n = -6).