При каких натуральных значениях n данное выражение принимает целые значения 3n-18
3n
При каких натуральных значениях n данное выражение принимает целые значения 3n-18
3n
Данное выражение принимает целые значения при любых натуральных значениях n, так как 3n делится на 3 без остатка, а значит и 3n-18 будет делиться на 3 без остатка. То есть данное выражение принимает целые значения при любых натуральных значениях n.
Для того чтобы определить, при каких натуральных значениях ( n ) выражение ( \frac{3n - 18}{3n} ) принимает целые значения, рассмотрим это выражение подробнее.
Первоначально перепишем его в более удобной форме: [ \frac{3n - 18}{3n} = \frac{3(n - 6)}{3n} = \frac{n - 6}{n}. ]
Теперь нам необходимо найти такие натуральные значения ( n ), при которых ( \frac{n - 6}{n} ) является целым числом. Обозначим это целое число буквой ( k ): [ \frac{n - 6}{n} = k. ]
Перепишем это уравнение, выразив ( n ) через ( k ): [ n - 6 = kn. ] [ n - kn = 6. ] [ n(1 - k) = 6. ] [ n = \frac{6}{1 - k}. ]
Так как ( n ) должно быть натуральным числом, ( \frac{6}{1 - k} ) также должно быть натуральным числом. Это возможно только в том случае, если ( 1 - k ) является делителем числа 6. Натуральные делители числа 6: ( 1, 2, 3, 6 ) (и их отрицательные эквиваленты, но они не интересуют нас, так как ( n ) должно быть натуральным).
Рассмотрим все возможные делители:
Таким образом, натуральными значениями ( n ), при которых выражение ( \frac{3n - 18}{3n} ) принимает целые значения, являются ( n = 1, 2, 3, ) и ( 6 ).
Проверим значения ( n ):
При ( n = 1 ): [ \frac{3(1) - 18}{3(1)} = \frac{3 - 18}{3} = \frac{-15}{3} = -5. ]
При ( n = 2 ): [ \frac{3(2) - 18}{3(2)} = \frac{6 - 18}{6} = \frac{-12}{6} = -2. ]
При ( n = 3 ): [ \frac{3(3) - 18}{3(3)} = \frac{9 - 18}{9} = \frac{-9}{9} = -1. ]
При ( n = 6 ): [ \frac{3(6) - 18}{3(6)} = \frac{18 - 18}{18} = \frac{0}{18} = 0. ]
Как видно, при ( n = 1, 2, 3, ) и ( 6 ), выражение ( \frac{3n - 18}{3n} ) действительно принимает целые значения (-5, -2, -1,) и (0) соответственно.
