При каких значениях а уравнение 4^x-(a+1)*2^x+2a-2=0 имеет один корень? Найдите его.
При каких значениях а уравнение 4^x-(a+1)*2^x+2a-2=0 имеет один корень? Найдите его.
Чтобы уравнение (4^x - (a+1) \cdot 2^x + 2a - 2 = 0) имело один корень, его можно привести к квадратному виду. Заметим, что (4^x = (2^x)^2). Обозначим (y = 2^x). Тогда уравнение примет вид:
[ y^2 - (a+1) y + (2a - 2) = 0. ]
Для того чтобы данное квадратное уравнение имело один корень, дискриминант должен равняться нулю:
[ D = (a+1)^2 - 4(2a - 2) = 0. ]
Решим уравнение для дискриминанта:
[ (a+1)^2 - 8a + 8 = 0, ] [ a^2 - 6a + 9 = 0, ] [ (a - 3)^2 = 0. ]
Таким образом, (a = 3).
Теперь подставим (a = 3) в уравнение:
[ 4^x - 4 \cdot 2^x + 4 - 2 = 0, ] [ 4^x - 4 \cdot 2^x + 2 = 0. ]
Заменим (4^x) на ((2^x)^2):
[ (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 2 = 0. ]
Обозначим (y = 2^x):
[ y^2 - 4y + 2 = 0. ]
Решим это уравнение:
[ D = 16 - 8 = 8, ] [ y = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}. ]
Так как нам нужен один корень, то мы выбираем значение (y = 2) (так как оно будет соответствовать единственному корню уравнения при (D = 0)):
[ 2^x = 2 \implies x = 1. ]
Ответ: (a = 3), единственный корень (x = 1).
Рассмотрим уравнение:
[ 4^x - (a+1) \cdot 2^x + 2a - 2 = 0. ]
Поскольку (4^x = (2^x)^2), можно сделать замену (y = 2^x). Уравнение примет вид:
[ y^2 - (a+1)y + (2a - 2) = 0. ]
Это квадратное уравнение относительно (y). Чтобы уравнение имело один корень, его дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант (D) квадратного уравнения (Ay^2 + By + C = 0) вычисляется по формуле:
[ D = B^2 - 4AC. ]
В нашем случае:
Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
[ D = (-(a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 2). ] [ D = (a + 1)^2 - 4(2a - 2). ] [ D = (a + 1)^2 - 8a + 8. ]
Теперь упростим это выражение:
[ D = a^2 + 2a + 1 - 8a + 8. ] [ D = a^2 - 6a + 9. ] [ D = (a - 3)^2. ]
Для того чтобы уравнение имело один корень, необходимо, чтобы дискриминант равнялся нулю:
[ (a - 3)^2 = 0. ]
Это уравнение имеет решение:
[ a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3. ]
Теперь подставим значение (a = 3) в исходное уравнение, чтобы найти корень. Подставим (a) в наше квадратное уравнение:
[ y^2 - (3 + 1)y + (2 \cdot 3 - 2) = 0, ] [ y^2 - 4y + 4 = 0. ]
Это уравнение можно факторизовать:
[ (y - 2)^2 = 0. ]
Таким образом, у него есть один корень:
[ y = 2. ]
Теперь вернемся к переменной (x). Мы делали замену (y = 2^x), поэтому:
[ 2^x = 2. ]
Решая это уравнение, получаем:
[ x = 1. ]
Таким образом, уравнение (4^x - (a + 1) \cdot 2^x + 2a - 2 = 0) при (a = 3) имеет один корень (x = 1).
Рассмотрим уравнение:
[ 4^x - (a+1) \cdot 2^x + 2a - 2 = 0. ]
Чтобы решить задачу, выразим данное уравнение через подстановку. Пусть ( y = 2^x ), где ( y > 0 ), так как ( 2^x > 0 ) для всех ( x ).
Тогда ( 4^x = (2^x)^2 = y^2 ), и уравнение перепишется в виде:
[ y^2 - (a+1)y + 2a - 2 = 0. ]
Это квадратное уравнение относительно ( y ). Уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю. Найдём дискриминант:
[ D = b^2 - 4ac, ]
где ( a = 1 ), ( b = -(a+1) ), ( c = 2a - 2 ). Тогда:
[ D = (-(a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 2). ]
Раскрываем скобки:
[ D = (a+1)^2 - 4(2a - 2). ]
Вычислим ( (a+1)^2 ):
[ (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1. ]
Теперь вычислим ( -4(2a - 2) ):
[ -4(2a - 2) = -8a + 8. ]
Подставляем всё в выражение для ( D ):
[ D = a^2 + 2a + 1 - 8a + 8. ]
Собираем подобные члены:
[ D = a^2 - 6a + 9. ]
Теперь уравнение для дискриминанта имеет вид:
[ D = (a - 3)^2. ]
Для того чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю:
[ (a - 3)^2 = 0. ]
Решаем это уравнение:
[ a - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 3. ]
Подставим ( a = 3 ) в исходное уравнение:
[ y^2 - (3+1)y + 2 \cdot 3 - 2 = 0, ]
то есть:
[ y^2 - 4y + 6 - 2 = 0. ]
Упрощаем:
[ y^2 - 4y + 4 = 0. ]
Это полный квадрат:
[ (y - 2)^2 = 0. ]
Следовательно:
[ y - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 2. ]
Так как ( y = 2^x ), то:
[ 2^x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1. ]
Уравнение имеет один корень при ( a = 3 ), и этот корень равен:
[ x = 1. ]
